张 敏 陈豆豆

（1.江西科技师范大学建筑工程学院，南昌330013；2.广西科技大学土木建筑工程学院，柳州545006）

0 引 言

耗能减震是一种结构被动控制技术，该技术是在结构中设置阻尼器，并在地震作用中，该阻尼器产生弹塑性变形，耗散地震输入结构的能量，进而保护结构免遭地震破坏［1-3］。非线性黏滞阻尼器是一种速度相关型减震装置，该阻尼器通过两端产生相对速度，从而对结构施加阻尼力F=C|V|α，其中，C为阻尼系数，|V|为阻尼器两端相对速度绝对值，α为阻尼指数。目前已在建筑、桥梁中被广泛应用，同时，与其相适应的分析理论也不断发展。由于该结构构造简单，且工作时不改变结构刚度，因此在框架结构中设置非线性黏滞阻尼器，降低结构地震反应，是减震控制的一种有效形式，但设置非线性粘滞阻尼器后结构各阶振动的阻尼比如何确定？结构地震作用如何分析？不少学者对该问题做了大量研究。

1998 年，欧进萍基于国内外减震装置性能试验，结合抗震规范，提出了阻尼器等效阻尼和等效刚度的计算方法，以及适用于反应谱法的附加振型阻尼比方法［4］，将减震结构设计转化为抗震结构设计；2007 年，程光煜将等效线性法应用于能力谱计算，对比分析了8 种等效线性化方法的地震输入能量谱的精度［5］，证明现有应用于能力谱计算的等效线性法，等效周期偏小，误差较大；2009 年，陆伟东针对中、美、日3 国规范中等效阻尼比的计算进行对比分析，根据日本规范设计思路，提出更为精确的计算公式，并将该公式计算结果，用于三层混凝土框架，进行时程分析比较［6］，证明该方法有良好的精度；2010 年，梁仁杰针对单自由度和多自由度体系，分别采用考虑等效阻尼比的传统能力谱法和采用弹塑性反应谱的改进方法进行分析比较，并和非线性时程分析对比［7］，结果表明：采用传统方法低估了结构响应，有较大误差，而采用弹塑性需求曲线的改进方法和真实反应吻合较好。2011 年，李创第采用随机平均法，分别对单自由度、多自由度带支撑Maxwell 阻尼器减震结构的等效阻尼比进行了系统研究，建立了耗能结构各振型等效阻尼比的计算式［8-9］，与模态应变能法的计算精度进行对比分析，结果表明该方法优于应变能法；2014 年，宋力勋提出了纯阻尼器和考虑支撑刚度阻尼器的等效阻尼比计算公式［10］，结果证明：明确阻尼器位置和参数，可通过计算公式计算等效阻尼比。同年，王婷用ATC-40 中的能力谱法对一栋三层混凝土框架结构进行安全性验证，证明该方法对等效阻尼比估计过高［11］，导致对地震反应估计偏低，在此基础上，拟合出改进等效阻尼比模型，该模型能较好地估计地震反应。2016 年，何文福对黏滞阻尼器结构进行附加等效阻尼比的研究，并提出动力响应减震系数法计算附加等效阻尼比，对比几种附加阻尼比计算结果［12］，证明 Constantinou 提出的近似公式计算结果与时程分析最为接近。2016 年，张敏采用状态方程直接积分法，研究了一栋10 层线性黏滞阻尼耗能框架结构的地震响应，提出了阻尼系数优化公式，并根据阻尼比不同，提出了适用于不同阻尼比的地震作用实用计公式［13］，证明阻尼器在结构各楼层均匀布置时，框架结构的地震响应较传统抗震结构减少很多。2018 年，Li 提出了一种确定SDOF 结构的一阶和二阶等效黏性阻尼和刚度、峰值响应及其阻尼力的新方法，基于一般线性黏弹性阻尼结构的动力特性，提出了改进的多时间尺度法，采用所有自由振动特性相同的等效准则，得到结构的一阶和二阶等效黏性阻尼和刚度［14］，证明该方法比模态应变能法的精度更高，且明显优于模态应变能法。2018 年，周瑞指出中美日三种设计标准均直接或间接以地面运动峰值加速度作为地震反应谱的基准数据，以中国标准的αmax为比较基准，比较了钢框架和钢筋混凝土框架在三种标准下的地震响应最大值的关系［15］，给出确定地面运动峰值加速度的方法，可以正确地计算出结构地震响应。2018 年，耿耀明针对设置黏滞流体阻尼器的装配整体式钢筋混凝土框架结构，采用反应谱法和弹性时程分析法分析结构地震响应［16］，发现多遇地震下黏滞阻尼器耗能明显，能够保护主体结构，罕遇地震耗能较多遇地震减少，但仍可消耗部分能量，从而保护主体结构。同年，贾传果对非线性阻尼力进行线性化处理，形成黏滞阻尼器减震结构运动方程，并给出求解局部非线性结构动力问题的数值积分方法［17］，通过 Matlab 对带黏滞阻尼器的七层平面框架进行地震响应分析，证实该方法的可靠性。

非线性黏滞阻尼器具有较强的非线性，其等效阻尼比分析较复杂。本文基于阻尼器能量耗散概念，根据各阶振动的不同振动形式及其正则坐标幅值不变的原则，分析各阶振动的等效阻尼比，并由此分析结构的地震作用。

1 结构地震作用分析

分析结构各楼层地震作用，是将结构地震作用的动力分析问题转化为相当于结构静力荷载作用的静力分析问题。各楼层地震作用为

令{x}=[φ]{q}，经变换可得：

式中，ωnj为框架结构第j振型的振动频率。

第j振型结构地震作用向量为

设置非线性黏滞阻尼器框架结构，第j振型第i楼层的结构地震作用为

可见结构地震作用与结构正则坐标qj的幅值有关。

2 耗能框架结构等效阻尼比分析

2.1 框架结构各阶振动阻尼器耗能

为了将减震结构地震作用计算转化为抗震结构采用反应谱法计算，本文提出将非线性阻尼转化为结构等效阻尼。

本文采用的非线性黏滞阻尼器的阻尼力F=C|V|α，其中，C为阻尼系数，α为阻尼指数，V为阻尼器两端相对速度。

图1 所示框架结构设置非线性黏滞阻尼器的振动方程为

式中：[M]、[C]、[K]分别为结构的质量矩阵、阻尼矩阵、刚度矩阵；{Fd}为非线性黏滞阻尼器对框架结构作用力向量。

若仅考虑第j阵型，则{x}={φj}qj，化简可得

图1 结构模型Fig.1 Structure model

对式（7）两边各项分别积分，则得

式中，等式左边四项分别代表结构第j振型振动时的动能、结构自身阻尼耗能、结构弹性势能和非线性黏滞阻尼耗能；等式右边代表地震输入结构的能量。

第j振型一个振动周期的阻尼耗能为

可得

其中，[hj]=diag(hj1，hj2，…，hjn)。

将式（13）代入式（9）中，得

化简，得

式中，qjm为第j振型正则坐标qj的幅值。

2.2 等效阻尼比分析

结构设置非线性粘滞阻尼器后等效为结构线性黏滞阻尼，即

结构阻尼等效原则如下：

（1）阻尼等效前后结构阻尼耗能总量不变；

（2）阻尼等效前后结构按第j振型正则坐标幅值不变，即qjm不变。

阻尼等效后的振动方程：

仅考虑第j阵型{φj}，式（20）可变换得：

式中，ξeqj为第j振型等效阻尼比。

一个振动周期等效阻尼耗能：

求得，

将方程（21）右边地震波幅值视为静载，产生的静力反应qstm为

式中：Amax为地震波x¨g(t)的幅值；γj为第j振型参与系数。

令第j振型振动的动力放大系数则

由结构动力学，可得

2.3 结构高阶振动等效阻尼比分析

根据《建筑抗震设计规范》（GB 50011—2010）振型分解反应谱法，结构第j振型第i楼层地震作用为

阻尼等效后，由式（5）和式（31），可得

对于第1振型，则

由式（32）、式（33）变换为

若仅考虑第j阵型时，将式（21）进行傅里叶变换并化简，得

式中，ξ0为设置非线性黏滞阻尼器前，框架结构自身阻尼比，一般取ξ0=5%。即

当j=1时，则

式中，ω近似取为场地特征频率

式（37）可变换为

根据《建筑抗震设计规范》（GB 50011—2010），可得为

将式（40）代入式（39），可得

求解式（44），可得ξeqj，将ξeqj代入式（37）可求出|qj|max。

3 工程算例

一栋10 层钢筋混凝土框架结构，平面布置见图2。底层层高4.5 m，二层及以上楼层高度为3.3 m，总层高为34.2 m；该结构设防类别丙类，抗震设防烈度为8度，基本地震加速度0.3g，设计地震分组为第2组；结构自身阻尼比ξ0=0.05；混凝土强度等级C30；楼屋面折算恒载标准值10 kN/m2（包括墙体自重），楼屋面活载标准值2 kN/m2；梁截面尺寸为300 mm×650 mm，柱截面尺寸为600 mm×750 mm。每榀横向框架各楼层均匀设置阻尼器，见图1，阻尼参数设置如下：I类场地，C=1 000 kN·s·m-1，α=0.5；Ⅱ、Ⅲ类场地，C=1 800 kN·s·m-1，α=0.5。该结构分别作用OROVILLE地震波（适用I类场地）、El-Centro 地震波（适用Ⅱ类场地）、HOLLYWOOD STORAGE地震波（适用Ⅲ类场地）。各地震最大加速度幅值均调整为110 cm/s2。

图2 结构框架平面图（单位：mm）Fig.2 Plane layout of frame structure（Unit：mm）

3.1 一阶振动等效阻尼比

根据式（31）计算，各类场地一阶振动的等效阻尼比见表1。

表1 一阶振动等效阻尼比Table 1 Equivalent Damping Ratio of First Order Vibration

3.2 一阶振动q1时程曲线

阻尼等效前后各类场地一阶振动的正则坐标q1时程曲线见图3。可见，阻尼等效前后q1时程曲线基本吻合。

图3一阶正则坐标时程曲线Fig.3 Regular coordinate time curve of structures

3.3 一阶振动

3.4 地震作用

阻尼等效后，结构地震作用按式（5）计算，并与抗震结构相应值对比，见图4。

表2 一阶振动Table 2 of first order vibration

表2 一阶振动Table 2 of first order vibration

ⅠⅡⅢ场地类别等效前|q1|max等效后|q1|max误差4.27 4.24 0.7%18.84 18.44 2.12%13.69 13.91 1.58%

图4 地震作用Fig.4 Seismic action

4 结 论

本文针对设置非线性黏滞阻尼器框架结构，利用阻尼器耗能及正则坐标幅值不变原则，推导出适用于设置非线性黏滞阻尼器框架结构的各阶振型等效阻尼比的计算公式，从而可将减震结构地震作用计算问题转化为抗震结构的反应谱法计算。最后对一栋10 层框架结构分别作用Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ等三类场地地震波，分析阻尼等效前后一阶正则坐标时程曲线，表明采用本文给出的等效阻尼比进行分析，两种时程曲线吻合性较好。

综合前文分析，结论总结如下：

（1）设置非线性黏滞阻尼器框架结构各楼层地震作用可采用式（45）计算。

（2）设置非线性黏滞阻尼器框架结构第一阶振动的等效阻尼比ξeq1为

（3）设置非线性黏滞阻尼器框架结构高阶振动的等效阻尼比ξeqj，可由下列方程求解：