张立乾，冯中华，陈 红，闫 晶

（北京特种工程设计研究院，北京 100028）

0 引 言

白居寺，全国重点文物保护单位，位于西藏自治区日喀则地区江孜县江孜镇，南、北、东三面环山，海拔3 900 m，是一座藏传佛教萨迦派、夏鲁派、格鲁派共存的寺院。白居寺始建于1427年，历时10年竣工，是一座塔寺结合的典型的藏传佛教寺院建筑，塔中有寺、寺中有塔，寺塔天然浑成，相得益彰，其建筑充分代表了13世纪末至15世纪中叶后藏地区寺院建筑的典型样式。于2011年对白居寺中的吉祥多门塔（又称为白居塔）的塔体建筑形制进行了充分调查，在此基础上首次对白居塔体结构在重力和地震作用下的稳定性进行了深入研究，并合理推断了白居塔体基础和下伏山体的位置关系。白居塔整体形貌见图1所示。

1 白居塔建筑形制

塔高分十层，总高41 m左右，底宽52 m左右，立面三角形。塔座为5个层级，塔身为圆形塔瓶，直径20余米。依据白居塔建筑形制调查结果，白居塔平面布局图见图2所示，由内部筒状墙体和内外部纵横交错布置的格构受力墙体系组成。白居塔墙体以泥砌块石（片石）砌体结构为主，楼板为柔性木梁、檩条结构，属于刚性墙体，柔性楼板结构。

图1 白居塔俯瞰图Fig.1 Overhead view of Baiju Tower

图2 白居塔平面布局图Fig.2 Plane layout of Baiju Tower

由于现场条件限制，建筑内部和山体的关系不能直接获得，依据同类建筑形制进行推理，从布达拉宫到古格故城等城堡类建筑以及楚布寺多门塔和拉孜觉朗多门塔等塔式建筑都有依山而建的众多先例，见图3所示；另外从白居寺现场地形、地势来看，其北侧有一山体呈垂直切割状，向南延伸恰好是白居寺所处的位置。基于以上分析，有理由推断白居寺立面布局应依据山势而建，其内部墙体建在环状山包上。由于不能直接判断内部嵌入山包的具体高度，依据北侧山体现状边坡的自然坡率延伸至白居塔所处位置的坡体高度，分削坡和不削坡两种情况，将内嵌山包分高（16 m，对应不削坡）、低（10 m，对应削坡）两种情况进行探讨。建筑立面布局图4所示。

图3 楚布寺多门塔立面与周边环境Fig.3 Facade and surrounding environment of the auspicious multi-gate pagoda in Chubu Temple

图4 白居塔立面布图Fig.4 Layout of Baiju Tower elevation

2 白居塔结构模型

2.1 物理力学指标

白居塔墙体为块石砌体结构，楼板为木梁、檩条上覆阿嘎土结构。墙体、山体采用摩尔-库伦本构模型，楼板采用弹性模型。模型的物理力学和结构指标见表1所示，表中图例颜色与图4中结构颜色相对应。

表1 物理力学参数表Table 1 Physical and mechanical parameters

墙体砌块的物理力学指标体系中，砌块的物理力学指标通过室内试验和砌体回弹测试确定，砂浆则通过贯入测试获得。通过砌块和灰浆的物理力学参数，按照砌体强度理论推算出相应的砌体物理力学参数[1]。已知砌块的抗压强度平均值f1以及灰浆的抗压强度平均值 f2，根据公式（1）（2）及（3）可得砌体的抗压强度平均值fm、轴心抗拉强度平均值ft，m、弯曲抗拉强度平均值 ftm，m、抗剪强度平均值fv，m、弹性模量 E。 式中，ξ为弹性特征值。

将砌体看成均质连续体，采用摩尔-库仑模型进行计算。已知砌体的拉伸与压缩强度参数，通过公式（4）及（5）计算得出砌体的黏聚力c及内摩擦角φ。

楼板物理参数取值依据规范《木结构设计规范：GB 50005—2017》[2]的参照值。山体物理参数取值依据《岩土工程勘察规范：GB 50021—2017》[3]、《建筑地基基础设计规范：GB 50007—2011》[4]对应的中风化硬质岩的参照值。

2.2 安全稳定系数计算方法

采用强度折减法[5]计算结构体的安全稳定系数。有限元强度折减法分析结构体稳定性的基本思想是当计算正好收敛时（最小安全系数Ftrial再稍大一些，数量级一般为10-3，计算便不收敛），对应的Ftrial被称为坡体的最小安全系数，此时土体达到临界状态，发生剪切破坏。强度折减法的基本公式见公式（6～8）。

式中，τ为折减后的抗剪强度；σ为作用于岩土体上的正应力。

与传统的条分法相比，抗剪强度折减系数法具有如下优点：1）能够对具有复杂地貌、地质结构的边坡进行计算；2）求解安全系数时，可以不假定滑移面的形状，也无需进行条分；3）考虑了岩土体的本构关系以及变形对应力的影响；4）能够模拟滑坡形成过程及其滑移面形状（通常由剪应变增量或位移增量确定滑移面的形状和位置）。

2.3 计算模型

采用midas GTS岩土分析软件进行计算分析。依据《建筑抗震设计规范：GB 50011—2010》之3.4.4条之规定，对于平面或竖向不规则的建筑，应采取空间结构计算模型，考虑到塔体结构平面和竖向均规则，所以可以采取平面模型。塔体在三维空间上属于轴对称结构，通过轴心的垂向截面和水平向截面为结构宽度最小截面，可视为受力最不利截面。因此，作为塔体典型计算截面，按照平面应变问题，进行塔体稳定性计算分析。白居塔楼板木结构单元划分大小为0.25 m，墙体单元划分大小为0.35 m，山体单元划分大小为1.2 m，单元总数量7 634个。边界条件为：山体底部竖向和水平约束，山体侧面水平约束，塔体底部与山体连接处为绑定连接。模型单元划分见图5所示。

图5 白居塔及山体有限元模型Fig.5 Finite element model of Baiju Tower and the mountain

3 重力作用下结构稳定性分析

塔体在自重作用下的结构位移图见6所示，位移矢量图见图7所示，最大剪应变云图见图8所示。从图6、图7可以看出，较高山体模型在重力作用下，其最大变位为7.15 mm，结构的最大变位以6层墙体斜向下变位为主；较低山体模型在重力作用下，由于芯部墙体高达21 m，水平向刚度相对较弱，整体结构变位以向中心的水平变位为主，其最大变位为10.72 mm。

从图8可以看出，较高山体模型在重力作用下，其最大剪切应变带出现在7层平台对应的内墙体下部，呈向下剪切模式。该部位控制整个结构的安全稳定系数，剪应变最大值为4 657με。较低山体模型在重力作用下，其最大剪切应变带出现的位置不同，出现在7层平台对应的内墙体下部，呈向下剪切模式。该部位同样控制整个结构的安全稳定系数，剪应变最大值为6 356με。之所以出现剪切带位置上的差异，原因在于墙体高的模型对应较高的临空面，在竖向应力作用下，形成内下方剪切带。

较高山体模型安全稳定系数为1.912 5，较低山体模型安全稳定系数为1.587 5。可见较高山体模型安全程度较较低山地模型高。两个模型在自重作用下，整体的安全稳定均有较高的保证。

图6 自重作用下变位图（位移单位：m）Fig.6 Displacement diagram under the action of gravity（displacement unit： m）

图7 自重作用下变位矢量图Fig.7 Vector diagram of displacement under the action of gravity

图8 自重作用下最大剪应变云图Fig.8 Maximum shear strain nephogram under the action of gravity

基于以上分析，在重力作用下，无论是较高山体模型，还是较低山体的模型，整体结构稳定性没有问题，是安全的。

4 地震作用分析

白居塔主体结构以块石砌体结构为主，楼板为柔性木梁、檩条结构，属于刚性墙体，柔性楼板结构，采用底部剪力法计算较为合适。依据《建筑抗震设计规范：GB 50011—2001》[5]，该建筑位于西藏江孜，抗震设防烈度为7°，设计基本地震加速度为0.15 g，地震分组为第二组。7°设计基本地震加速度0.15 g时对应的水平地震影响系数为0.12（多遇地震），8°设计基本地震加速度0.3 g时对应的水平地震影响系数为0.24（多遇地震）。分别按照7°（对应设计基本地震加速度0.15 g）和提高一度8°（对应设计基本地震加速度0.3 g）选取水平地震系数0.12和0.24，用于该结构地震稳定性计算。

4.1 振型分析

分别针对较高山体和较低山体两个模型进行模态分析，前4阶振型见图9、图10所示，模态频率表见表2所示。

图9 较高山体振型Fig.9 Vibration modes to higher mountain

图10 较低山体振型Fig.10 Vibration modes to lower mountain

表2 模态频率表Table 2 Modal frequency

山体较高的模型，基频为5.015 Hz，山体较低的模型，基频为4.606 Hz，说明两个模型结构整体刚度较大。两个模型基频形态均为上部侧摆，山体较低模型侧向刚度相对于山体较高模型为小。基频形态为侧向摆动，说明采取底部剪力法可用于该结构的抗震分析。两个模型二阶模态均为对称摆动，三阶模态均为扭摆，四阶模态均为局部侧摆，两个模型的一致性较好。

4.2 7°多遇地震作用下结构稳定分析

从图11可以看出，较高山体模型在重力和水平向多遇地震作用下，其最大变位为24.7 mm，结构的最大变位以6层墙体及以上水平向变位为主；较低山体模型在重力和水平向多遇地震作用下，左右侧墙体变形虽均为侧向水平变位为主，但左右侧墙体分布并不相同，其最大变位为19.2 mm。

从图12可以看出，较高山体模型在重力和水平向多遇地震作用下，其最大剪切应变带出现在7层平台对应的内墙体下部，呈向下剪切模式。该部位控制整个结构的安全稳定系数，剪应变最大值为5 938με，左右侧墙体剪切形态基本一致。较低山体模型在重力作用下，其最大剪切应变带出现的位置不同，出现在7层平台对应的左侧内墙体下部，呈向下剪切模式。该部位同样控制整个结构的安全稳定系数，剪应变最大值为6 064με。而右侧由于受压为主，其剪切带偏上，剪切应变较小，左右侧剪切带位置存有差异。原因在于墙体高的模型对应较高的临空面，在竖向和水平向拉力的作用下，形成内下方剪切带。

图11 7°多遇地震作用下结构变位图（位移单位：m）Fig.11 Structural displacement diagram under 7-degree frequent earthquakes（displacement unit： m）

图12 7°多遇地震作用下最大剪应变云图Fig.12 Maximum shear strain nephogram under 7-degree frequent earthquakes

图13 给出了自重和水平向多遇地震作用下结构的安全系数。较高山体模型安全稳定系数为1.637 5，较低山体模型安全稳定系数为1.337 5。可见较高山体模型安全程度较较低山地模型为高。两个模型在自重和水平向多遇地震作用下，整体的安全稳定仍有较高的保证。

4.3 8°多遇地震作用下结构稳定分析

8°多遇地震作用下，由图14可知，较高山体模型对应结构最大位移25.2 mm，较低山体模型对应结构最大位移为23.5 mm。由图15可知，最大剪应变形态仍与7°多遇地震相同。由图16可知，较高山体模型安全稳定系数为0.962 5，为安全稳定的临界状态；较低山体模型安全稳定系数为0.787 5，结构稳定系数不能满足要求。

由模型参数表1可知，稳定系数的求解对应墙体C=100 kPa，φ=50°的本构模型参数。如果保持φ值不变，将C值增大20%，即取120 kPa，山体参数不变，再次计算两个模型在8°多遇地震作用下的安全稳定系数。稳定系数计算结果见图17所示。

图13 7°多遇地震作用下结构安全稳定系数Fig.13 Safety and stability coefficients of structures under 7-degree frequent earthquakes

图14 8°多遇地震作用下结构变位图（位移单位：m）Fig.14 Structural displacement diagram under 8-degree frequent earthquakes（displacement unit： m）

图15 8°多遇地震作用下最大剪应变云图Fig.15 Maximum shear strain nephogram under 8-degree frequent earthquakes

图16 8°多遇地震作用下结构安全稳定系数Fig.16 Safety and stability coefficients of structures under 8-degree frequent earthquakes

图17 8°多遇地震作用下结构安全稳定系数Fig.17 Safety and stability coefficients of structures under 8-degree frequent earthquakes

由图 14～17可知，C值增大 20%，即取120 kPa，其余参数不变，则较高山体模型稳定系数由0.962 5增至1.162 5，满足大于1.1的要求。较低山体模型稳定系数也由0.787 5增至0.987 5。较高山体模型稳定性高于较低山体模型。C值的变化对结构稳定较为敏感。

对比而言，较高山体模型对应的安全稳定系数高于较低山体对应的安全稳定系数22%左右。结合白居塔经历数百年风雨岿然不动的现实来推理判断，白居塔真实可能的情况应该为塔体“内嵌”较高山体。

5 结 论

基于以上分析，对白居塔的整体稳定性可以得出如下结论：

1）无论较高山体，还是较低山体，白居塔整体结构的刚度较大，整个结构体系属于抗震有利体系。

2）自重作用下，整体结构安全性满足，且有较高的安全稳定系数。

3）白居塔整体结构基频模态以侧倾为主。在7°（基本加速度0.15 g）多遇地震作用下，两个模型整体结构的抗震稳定性较好，结构不会产生整体性失稳破坏。在8°（基本加速度0.3 g）多遇地震作用下，较高山体模型主体结构基本处于安全临界状态，较低山体模型主体结构不满足要求。较高山体的模型相对于较低山体的模型，安全程度要高。

4）分析模型采用了平面应变模型，未能考虑方形格构墙体中横墙的抗剪作用。该部分会对结构产生有利的抗震作用，如果加以考虑，结构整体稳定系数会有一定程度的提高。

致 谢：谨以此篇文章献给尊敬的我院已故文物保护工作开拓者杨国兴先生。