提高几何直观能力有“四招”

2020-08-06纪金禀

新课程·上旬 2020年1期

纪金禀

摘要：几何直观不仅是一种解决问题的方法，还是一种能力。几何直观基于直观感知过程，离不开理性思考。教学中，可以结合学生感知过程的特点、思维的特点，通过引导学生“看”“操作”“想象”“说”，使观察更深刻，思考更深入，从而提高学生的几何直观能力。

关键词：几何直观能力;感知;理性思考

一方面，几何直观是指，借助于见到的（或想象出来的）几何图形的形象关系，对数学的研究对象（空间形式和数量关系）进行直接感知、整体把握的能力[1]。通过几何直观获得的感性认识，能让学生在头脑中产生某种关系，并联系实际问题，使数学问题得到解决。不仅如此，几何直观被认为是一种能力。另一方面，几何直观是在直观感知的感性基础之上所形成的理性思考[2]。可见，几何直观是一种基于感性认识并伴随理性思考的能力。

因此，提高几何直观能力，不仅要从感知过程入手，还应重视理性思考过程，使感知更准确、有效，使思考更清晰、深入。有目的地观察能使感知更准确，操作和想象能在脑海中对图形进行再加工，说理能对感性材料进行更深层次的理性思考。教学中要让学生学会“看”“操作”“想象”和“说”，引导学生达到更高层次的几何直观，提高几何直观能力。

一、学会“看”

几何直观是一种感知活动，对几何图形的感知离不开充分的观察。教学中，存在学生看到几何图形仍无法解决问题的现象，笔者认为在于学生缺乏观察的目的性。观察的漫无目的使学生观察图形时忽略关键因素，造成思维模糊、停滞甚至偏离实际问题。学会有目的地观察，利于学生更快速、更准确地把握几何图形的关键特征，使体验更深刻，理性思考更深入，从而整体把握图形中的某种关系。

【案例1】

甲、乙两艘轮船同时从上海出发开往青岛。经过18小时后，甲船落后乙船57.6km。甲船每小时行32.5km，乙船每小时行多少千米？（用方程解答）

■

师：从上图中能找出怎样的等量关系呢？

生：甲船落后乙船57.6km。

师：怎么列等量关系呢？

（等待许久，无人回答。）

师：既然甲船落后乙船57.6km。在上图中，甲船和乙船的路程有怎样的关系呢？请你先自己想一想，列出等量关系式，再和四人小组说说你的想法。

生：乙船的路程-甲船的路程=相差的路程

师：还可以怎么列等量关系式？

生：甲船的路程+相差的路程=乙船的路程

由于图中包含运动方向、起始点、相差的路程等信息，学生的第一次观察漫无目的，思路最终转移到图中的数字信息——

57.6km，最终用题干中的“甲船落后乙船57.6km”回答问题，思维停滞不前。第二次引导学生观察两船的路程，学生的思维便集中到图形中，构建起“甲船的路程+相差的路程=乙船的路程”的形象关系。通过让学生有目的地“看”，培养观察的目的性。在往后的学习中，学生能自发地进行有目的的观察和思考，更有效地把握图形中的关系。

二、学会“操作”

学生在动手活动中形成的个体经验是发展几何直观的基础，是感受、理解抽象几何直观的有力支撑[3]。常见的操作活动有：剪、拼、摆、圈、折、量、画等，这些活动不仅要调动视觉感官，还使学生的多种感官协同参与，是一种更全面的感知，对已有图形进行二次加工，使感知更准确。教学中，要让学生感受到操作活动是理解图形的重要方法，更要让操作活动成为在图形启发下的自觉反应，提高几何直观能力。

【案例2】

请你在下图中圈一圈，并和同桌说一说：的只数是（）倍

生：鸭的只数是鸡的3倍。

师：你是怎么想的？

生：鸡有3只，所以鸭要3只3只地圈，圈三次，有3个3只，所以鸭的只数是鸡的3倍。

师：为什么鸭要3只3只地圈？

生：因为鸡有3只。

师：看来要以鸡的数量为标准来圈呢！那圈三次说明什么呢？

生：圈3次说明有3个3只。

师：你认为把图形圈一圈有什么好处？

生：能更快地看出要以鸡的只数为标准，鸭有3个3只，所以鸭的只数是鸡的3倍。

学生较难从等距排列的鸭子中寻找数量关系，更难理解要以鸡的数量为标准，鸭有3个3只这一本质性关系。通过“圈一圈”这一操作活动，学生能自觉地以鸡的只数为标准，每3只鸭圈一次，使“3个3只”的关系更为突出，发现“圈一圈”能使图形中的关系变得更容易理解。學生感受到操作活动对理解图形关系的积极性，当观察图形遇到困难时，会自觉地对图形进行相关操作，几何直观能力也将得到提高。

三、学会“想象”

几何直观不仅借助平面图形，还借助立体图形;不仅借助静态图形，还借助动态图形;不仅借助单一图形，还借助多个图形甚至无数个图形。因此，在几何直观活动中，时常离不开“想象”。更有研究者指出：发展几何直观，最重要的就是要发展学生的空间想象能力[3]。想象活动有利于突破“二维与三维”“有限与无限”“静态与动态”之间的界限，达到更高层次的几何直观。培养几何直观能力不能局限于观察、操作活动，还要引导学生进行想象。

【案例3】

用小正方体拼成下图中的大正方体后，把它们的表面刷上红色的漆，其中两面涂色的小正方体有多少块？

师：两面涂色的小正方体有几块？

生：这里有两块、还有这里……都是两块（手指着看得的九条棱），一共是18块。

师：想象一下，除了看得到的棱上一共有18块，还有吗？

生：还有后面看不到的这三条棱（手指着那三条棱的大致位置），每条棱上都有2块是2面涂色的。

师：怎么求这些涂色的小正方体有多少块？

生：正方体有12条棱，每条棱上有2块小正方体两面涂色，12×2=24（块）。

学生之所以得出“18个”的错误结论，在于不能将看到的正方体当立体图形看待，没有进行适当的空间想象。通过引导学生想象其余三条棱上小正方体的特点，会发现每条棱上都有2个小正方体是两面涂色的。学生解决问题时不可能每次都拥有实物进行思考，平面呈现的图形结合空间想象是几何直观中常遇到的情况。想象活动有利于思维摆脱二维空间的束缚，在三维空间中有效进行，达到更高层次的几何直观。

四、学会“说”

几何直观基于感性认识，伴有理性思考，但这种思考并不是严密的推理，有时是一闪而过的感悟，或快速而簡单推理的结果，容易出现片面的理解和随意的判断，因此常出现模糊甚至错误的结论。通过“说”的活动，学生能“反刍”对图形的感知过程，边“说”边梳理自己的思路，进行理性层面的深度加工，使感知到的关系变得清晰而确定。“说”具有两方面的意义，一来能深化对图形理解，修正偏差;二来能建立起实际问题和几何图形之间的桥梁，利于解决问题。

（一）在“说”中深化理解

学生对图形的理解有时是模糊甚至是错误的，如果能在大脑中对图形中的关系进行二次加工，进一步思考其中的关系，就有助于形成清晰的认识、修正错误的理解。“说”是一种重要的方法，学生将直观感知到的关系“说”出来，也是在理性层面上梳理感知过程，有利于图形表征与文字表征之间的相互转化，进一步理解图形中的关系，使感知更清晰、更准确。

【案例4】

李伯伯家有一块公顷的地。种土豆的面积占了这块地的，种土豆的面积是多少公顷？

师：结合图形想一想，种土豆的面积是多少公顷？

生：公顷。

师：你是怎么想的？

生：把种土豆的面积平均分成5份，每份就是公顷。

师：看看图，再回想刚才平均分的过程。

生：先把这1公顷平均分成2份，再把其中一份平均分成5份，这样的1份是公顷。

师：仔细回想，刚才你把1公顷平均分了几次？

生：两次。

师：我们把谁看作单位1呢？

生：（学生沉思片刻）应该是公顷，刚才把1公顷看作单位1，平均分成2份后，再把其中的一份平均分成5份，相当于把1公顷平均分成10份，所以是公顷。