顾天奇 庄楚天 李晋 梁华 包渊秋

摘要：在大范围疫病传播时，通过交通管制，政府可以有效控制疫区与其他区域的联系，以期减缓、阻断疫病的传播。为研究交通管制措施对控制疫病传播的作用，论文提出一种基于百度迁徙数据、考虑了人口迁徙效果的改进SIR传染病传播动力学模型，进行“有无”交通管制的对比分析。研究发现，在不同的迁徙人口与本地人口的混合程度下，无交通管制情况下新型冠状病毒染病者峰值为有交通管制情况下峰值的1.61倍～2.69倍。本研究将城市规划与交通规划中常用的OD矩阵与经典的传染病动力学模型综合考虑，建立了融合模型，具有普适性。

关键词：新型冠状病毒;传染病传播动力学;SIR模型;交通管控;人口迁徙;OD矩阵

DOI：10.3969/j.issn.1674-7739.2020.04.009

引言

传染性疾病的传播受生态、环境和人口等多方面的因素影响。气候、温度、传播媒介、当地的医疗卫生条件以及人口的迁徙都可以影响疫病传播效果。研究表明，人口大量聚集的城市和与外界交流频繁的城市更容易遭到诸如风疹、麻疹，天花、登革热的侵袭。[1][2]甚至对人口流动性较好的城市群，一些传染病（如小儿风疹）的流行有可能无法彻底根除。[3]

很显然在应对疫病传播时，是没法寄希望于气候、温度、虫媒等自然因素的。而短期内提高疫区医疗卫生条件并补充动员大量的医护人员，需要政府部门极大的协调组织、物资储备调配能力，实际操作中难度也很大。事实上，只有封锁疫区实行交通管制是相对简单快速、具有可操作性的应对措施。但是大规模的交通管制、对社会经济发展有负面的影响。因此研究、预测人口迁徙在疫病传播中的作用，具有重要的现实意义，也是传染病动力学研究的一项重要内容。基于20世纪麻疹在英国传播的数据，O N Bj?rnstad & B T Grenfell提出了一个风险模型，预测流动性不同的区域暴发疫病的可能。[3]C Poletto等研究了交通管制在2014年西非埃博拉病毒传播中的作用，[4]发现大规模的跨国交通管制作用有限，仅能有限延缓病毒在邻国暴发的时间。此外值得注意的是，相比于传统人口流动性的研究方法，借助大数据手段追踪人口迁徙进而研究疫病传播，具有样本大、精度高的优点，近年来采用的较多。A Wesolowski运用肯尼亚、纳米比亚、巴基斯坦三国的手机信令数据，研究了上述国家大范围季节性人口迁徙（节日、寒暑假）在传染病传播动力学中的作用。[5]Wesolowski团队还利用手机信令数据研究巴基斯坦登革热的传播与人口迁徙之间的关系，以预测不同区域疫病的传播、集中暴发风险。[6]在最近《柳叶刀》杂志刊登的关于新型冠状病毒传播研究中， J T Wu等学者借助腾讯位置大数据对病毒空间传播进行了预测。[7]上述研究中，跨区域的交通，通常被认为是影响传染系数的一个因素，很少作为独立参数进入传染动力学模型进行考察。

2019年底新型冠状病毒肺炎（下文简称COVID-19）在武汉开始传播，截至2020年3月10日，中国总计报告累计确诊病例80 931例，目前已转入可防可控态势。但是国外累计确诊也达到了67 760例。截至论文提交时间（3月15日），日本、韩国、伊朗、意大利等国家感染案例每日都在激增，全球的疫病传播形势依旧严峻。为应对疫情，1月23日武汉“封城”——实行严格的进出交通管制措施，截断了春节期间以及春节后的跨市客流。

如果不采用如此严格的交通管制措施，病毒的跨市传播可能是怎样的情况？如何量化交通管制在疫情控制中的作用？这些问题将会是下一阶段相关疫病评估工作的重点，也是本研究的立足点。基于经典的传染病动力学预测模型（SIR模型），本研究建立一个考虑了空间人口迁徙的简单房室模型，模拟COVID-19在湖北省各城市之间传播的时空分布（传播时长、感染人数等）。与常规传染病动力学研究不同，本研究重点关注跨区域的人员迁徙在疫病传播中的作用，从城市、交通规划的视角考察空间管制策略的有效性，探索交通规划模型与传染病传播动力学模型两者间融合的可能。

一、模型选择及数据准备

（一）传染病动力学预测模型（SIR model）

SIR模型是传染病动力学语境下的房室模式（Compartmental models）中的经典模型，[8]普遍被用来预测传染病传播（如总的传染人数、持续时间）。SIR模型将（潜在）传染人群分为三类：易感者（Susceptibles），其数量记为S（t），表示t时刻未染病但有可能被该类疾病传染的人数;染病者（Infectives），其数量记为I（t），表示t时刻已被感染成为病人而且具有传染力的人数;移除者（Removals），其数量记为R（t），表示t时刻已从染病者中移出的人数。假设N（t）且不变，则有N（t）=S（t）+I（t）+R（t）。

此外，t时刻单位时间内，一个病人能传染的易感者数目与此环境内易感者总数S（t）成正比，設定比例系数为β，从而在t时刻单位时间内被所有病人传染的人数为βS（t）I（t）。通过接触发生感染的期望时间Tc=β-1。钟南山、[9]J M READ[10]等不同研究团队的共识是：1月23日开始，由于医疗条件、社区隔离度的加强，β随时间降低。t时刻，单位时间内从染病者中移出的人数与病人数量成正比，比例系数为γ，单位时间内移出者的数量为γi（t）。感染后治愈（死亡）的期望时间Tr=γ-1。β/γ为基本传染率（R0），即在不做管控情况下，一个染病者在一个时间步长（通常为一天）引起净增加的传染者人数。早期 J M READ等认为武汉COVID-19的R0为3.11，[10]近期J T Wu发表于柳叶刀的论文中，R0略有下降，为2.68。[7]

在上述假设条件下，可知当易染者和染病者个体混合时，感染个体增长率为βIS-γI，易染个体下降率为βIS，恢复个体增长率为γI。对特定的时间t，整个过程可用微分方程表达如下：

基于上述假设，传染机制的逻辑是传染者在一定时间内传播给潜在的感染者，同时传染者本身不停地被治愈（或病死），因此同一时间内传染者净增加还是净减少，可以简单理解为取决于感染率和治愈率。

作为经典的传染病动力学模型，SIR模型逻辑清晰，计算简单，但也存在未考虑人口自然增长、未考虑疾病潜伏期等模型固有限制，因此在此基础上又衍生出SEIR等一系列改进模型。但是SIR及其衍生模型通常不单独考虑跨区出行在传播中的作用，而是将其作为影响传染率β的次一级因素考虑。伴随人口的迁徙，从（疫区）迁徙到当前地区的人员流动造成的疫病传染以及疫区人口迁徙到其他区域造成的疫病传染均没法在模型中直接体现，因此SIR及其衍生模型较难直接与城市规划、交通规划数据、模型建立直接联系用于确定行政边界的疫病传播模拟。基于此，为考虑空间的人口迁徙，本研究参考O N Bj?rnstad & B T Grenfell2007年的研究成果，在SIR中考虑人口迁徙，建立考虑了人口迁徙的SIR预测模型预测COVID-19在不同交通管制情况下的传播情况。

（二）疫病暴發的概率模型和考虑了人口迁徙的SIR预测模型（Mobility-SIR model）

O N Bj?rnstad & B T Grenfell在2007年提出一种在不同社区传播、并考虑时空因素的疫病暴发风险模型。[3]该模型认为，对某社区j来说，其产生第一个传染者的概率（即疫情暴发概率）可由两个变量计算，一是疫区与j社区的人群接触的概率，以及发生接触后产生传染的概率。对于前者，O N Bj?rnstad & B T Grenfell认为，j社区易染者与外来社区中染病者产生一次接触的概率ι服从二项分布：[3]

此概率与易感人群S，其他社区的传染人群比例和作为空间联系函数正相关。此外应注意到，当易感人群S足够大时候，风险模型可近似认为只与和相关。也就是说只与其他社区感染情况和j社区与其他社区的交通联系有关。

为简化计算，进一步假设函数即为从其他社区到j社区的出行量mt，j。从交通规划的角度，注意到mt，j事实上指OD矩阵中流入j社区的列和。至此，受上述风险模型的启发，本研究在SIR模型中考虑人口空间迁徙，将公式（1）修改如下：

值得注意的是，SIR模型求解的一个约束条件是S+I+R之和为常数N，而上式中考虑人口空间迁徙的之和并不是常数。为简化计算，在各社区（城市）OD的行和与列和（即流出与流入量分别之和）差别不大，且与S相比较小的情况下，上式可以进一步简化为：

上式即为考虑了人口空间迁徙的SIR模型。在这里，有几个新的前提条件，第一，考虑人口迁徙的模型中，N随时间变化，但是不同时间段的N（t）=S（t）+I（t）+R（t）仍然成立。此外，改进模型不但假设疫病在某个区域传播，还假设跨区出行染病者也与当地易染者存在感染接触、发生传染。以往的SIR模型，交通管制因素往往作为影响传染系数β的次一级因素，而考虑人口空间迁徙的SIR模型有直接反映不同地区交通流动的变量mj，k，并在模型中独立表达，更符合实际情况。

值得注意的是，上式中的，分别反映了从j向外围社区，以及从外围社区地流向j地的出行量，在数值上等于空间OD矩阵中j的行和与列和。理论上在经典SIR模型之外，只要有一个按时间变化的OD矩阵（区一级、市一级、跨省、跨国均可），即可以预测相对空间尺度区域之间、考虑了人口迁徙的疫病传播。因OD矩阵是城市（交通）规划的模型基础，至此，传染病动力学模型与传统城市（交通）规划建立起了空间联系。而下一步，就是确定上式中的Σmj，k，即武汉流入其他城市的出行量。

（三）人口迁徙数据

为简化情况，论文主要研究武汉前往湖北省其他城市的人口迁徙。假设病毒从武汉开始传播，且与人员流动有关，需要知道武汉出发、到达其他城市的出行人数——既包括现实实施交通管控下的出行量，也包括未实施管控情况下的预测出行量。

基于百度迁徙的数据[12]并参考 J T Wu[7]等人的研究成果，标定后的武汉1月1号至3月7日的实际流出、流入人口数据，以及1月24日起（武汉于1月23日开始采取跨市交通管制）无交通管制状态下的流出人口数据。

根据测算，1月1日开始，流入、流出武汉数量持续走高。1月20日前，流入大于流出，预计是春运回乡潮所致。而1月20日后，流出人数突增并超过流入，直至1月23日凌晨出城人数达到最高峰。结合当时的严峻情况，这也许与疫情严峻导致部分外地人口突击离开武汉有关。1月23日封城之后，人员流动性被冻结，出行量急剧下降。但是应注意一直到1月28日，武汉的流出量才下降到一个较低的水平（5万人次/日），也就是说武汉颁布“封城”措施的5天后才真正完成了限制跨市出行这一目标，这样的状态一直保持至今（3月份）。事实上，正常春节后的流出的春运量应该与节前流入的春运量基本一致，但是由于交通管制，以1月23日为界，之前大量回武汉的人员在春运后没有流出。特别是2月1日（正月初八）后，预期的春运返程潮并没有出现，武汉的流入维持在最高峰约1/50、3～4万人次/日的水平，流出的更少约为2万人次/日。考虑到其间武汉出城管控极严，但还是存在极少量医护资源、保障物流进入的情况，流出略少于流入也与实际一致。

为预测在无跨市交通管控情况下的人口迁徙，基于历年春运的特征，本研究假设春节前后流入和流出武汉的人数基本呈现镜像分布——以春节前各市流入武汉的流量作为春节后流出武汉的流量，并参考上一年度春运人口迁徙情况进行标定。例如，2月1日（初八）武汉流出量，为1月22日（腊月廿九）的流入量。基于上述假设，对武汉市人口流出量进行预测，1月23日开始，无交通管制下预测的流出量维持在40万人次每日的水平，并于2月10左右达到高峰（90万人次每日），之后稳定在30～40万人次的水平，约为有交通管制下实际流出量的15～20倍。

此外，模型中关于未管控假想状态下的人口迁徙采用了相对简单的假设情况，以春节前各市流入武汉的流量作为春节后流出武汉的流量，可能存在一定誤差，在今后研究中可进一步优化。

参考文献：

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Abstract：Infectious diseases transmission is affected by various factors as weather condition， temperature， medical condition as well as human mobility. Among these factors， human mobility is the most easy-to-manipulate one. During the 2020 coronavirus epidemic， the Chinese government implemented temporal travel restriction， tempted to mitigate the spatial coupling between epidemic area and other areas， to interrupt or even block the disease transmission. To estimate the effect of the travel restriction， an advanced SIR epidemic dynamic model based on human mobility is developed based on Baidu Qianxi data. The model is used to estimate the corona-virus transmission provided that no travel restriction was implemented， so that a before and after change outcome could be investigated and the effect of travel restriction policy could be measured. It is found that peak value of infections without travel restriction is 2.69-1.61 times as that of infections with travel restriction， in terms of different contact situations， and the peak time is also delayed to 8 -11 days when travel restriction is implemented. This paper builds an inclusive model for good incorporating OD matrix frequently seen in urban  and transportation planning and classic infectious disease dynamic model.

Key words：corona-virus; epidemic dynamics; SIR model; travel restriction; human mobility; OD matrix

責任编辑：许  丹