曾庆文

[摘  要] 解析几何问题的运算量较大，常给学生的解题造成困惑，因此解题时应尽可能地采用简化运算的技巧，降低思维难度，提高解题效率. 文章深入探讨定义法、设而不求、数形转化、参数法简化运算的思路，并开展相应的教学思考.

[关键词] 解析几何;简化;含义;设而不求;数形转化;参数法

高中数学常将曲线置于坐标系中，利用解析式来研究其性质，这也是解析几何内容研究的重要方法. 其中的解析式可以为代数，也可以是函数、对数等，在研究曲线性质时具有一定的优势，但有时分析思路复杂、运算量过大，极大地影响解题效率，实则在解析问题时可以采用一定的简化技巧，下面举例探究.

关于简化运算的技巧探究

解析几何中简化运算的技巧有很多，例如常见的定义法、设而不求、数形转化、巧设参数等，实际运算时可以结合具体问题合理选用简化技巧，在确保结果正确的前提下降低思维难度.

技巧一：回归定义

定义是圆锥曲线的本质属性，对于某些与曲线属性相关的解析几何问题可以考虑采用定义法来转化问题，构建思路.实际解题可以结合曲线图像，在曲线定义的基础上开展性质、结论探究.

例1：已知椭圆C的解析式为+=1，F1为椭圆的左焦点，直线l经过点F1且倾斜角为60°，与椭圆C的交点为A和B，如果FA=2FB，则椭圆C的离心率为__________.

分析：本题目为求椭圆离心率的填空题，常规解法是联立椭圆与直线的方程，然后结合其中的等量条件进行转化. 但按照该思路求解的运算量过大，此时可以考虑回归椭圆定义，结合平面几何知识简化运算.

评析：本题巧妙地利用了椭圆的定义，结合其中的几何性质构建了相应的等量关系，从而转化出椭圆的离心率，有效地降低了计算量.定义法在求解周长、面积、最值等问题中均有着广泛的应用，在实际学习时需要归总椭圆、双曲线、抛物线等曲线的核心定义，

技巧二：设而不求

设而不求是简化运算的常用技巧，尤其适用于解析几何中曲线与直线的相交问题. 实际求解时设出交点坐标、联立方程后，可以不求交点坐标，而利用整体思想，利用韦达定理进行整体化简，从而达到简化过程的效果.

例2：已知椭圆C的解析式为4x2+9y2=36，过点P（0，3）的直线l与椭圆相交于点A和B，若以线段AB为直径的圆刚好经过坐标原点，则直线l的表达式为_______.

分析：求直线l的表达式需要对直线的斜率进行讨论，斜率不存在时显然不满足条件. 若设直线表达式为y=kx+3后与椭圆方程联立，所得的方程为复杂的一元二次方程，直接求交点坐标较为复杂，此时可以采用设而不求的方法，利用韦达定理关于“根与系数”的关系来构建数式，通过整体代换来求解斜率，需注意对方程的判别式进行分析.

解：设直线l的表达式为y=kx+3，与椭圆的交点坐标为A（x1，y1），B（x2，y2），联立椭圆与直线的方程，整理可得（9k2+4）x1+54kx+45=0，有两个解，则Δ>0，即（5k2）-4×45（9k2+4）>0. 根据韦达定理可得x1+x2=-，x1·x2=. 分析可知OA⊥OB，则x1·x2+y1·y2=0，变形可得y1·y2=，所以有+=0，可解得k=±（均满足条件），则直线l的表达式为y=±x+3.

评析：上述求直线斜率时充分采用了设而不求、整体代换的简化方法，从而避免了解方程的复杂运算. 该方法同样适用于求解中点弦、交点弦问题中，为确保答案正确、无漏解，在求解时需要注意两点：一是对方程判别式合理分析;二是关注直线的斜率是否存在.

技巧三：数形转化

数形结合是重要的数学思想，在求解解析几何问题时也可以采用数形转化的简化技巧，对于某些问题把握其中的几何特性，从图形固有的特征或采用运动的观点分析其中的变化规律，可直接提取其中的等量关系，简化过程.

例3：已知☉A的解析式为x2+（y-2）2=，椭圆C的解析式为x2+4y2=4，点P和Q分别是☉A和椭圆C上的动点，则PQ的最大值为__________.

分析：本题为圆锥曲线中的双动点问题，若按照常规的设点分析，必然运算量过大，此时可以采用数形转化的简化技巧，利用图形来分析其中的隐含条件.

解：根据题干信息绘制图2，设点Q的坐标为（x0，y0）. 由图可知PQ=PA+AQ，其中PA与圆的半径相等，为定值，因此AQ取得最大值时PQ获得最大值.点A（0，2），AQ=，结合x2+4y2=4可得AQ=（-1≤y0≤1）. 分析可知当y0=-时，AQ取得最大值，所以PQ的最大值为+.

评析：数形转化的简化技巧有两大优势：一是可使抽象的问题直观化，降低思维难度;二是有利于把握图形特性，挖掘隐含条件. 上述就是利用数形转化确定了其中的定值规律，直接将双动点问题转化为了常规的单动点问题，极大地降低了运算难度.

技巧四：巧设引参

参数法是简化解析几何运算常用的技巧方法，特别是对于其中的最值问题、不等式问题、斜率问题，合理引参可以将其中的核心关系联系在一起，从而激活思路，取得事半功倍的解题效果.

例4：已知点A和B是椭圆+=1（a>b>0）的左、右顶点，点P位于椭圆上且不与A和B重合，AP=OA，设直线OP的斜率为k，证明k>.

分析：求证跟OP的斜率有关的不等式k>，常规的方法是将直线OP设为一般方程，即y=kx，取点P为（x0，y0），然后联立整理，可得一元二次方程，后续通过变形分析来完成證明，但该过程的运算量较大. 此时可以考虑引入椭圆的参数方程，将点P的坐标参数化，直接利用点坐标求出相关斜率，完成证明.

解：根据椭圆标准方程推知其参数方程为x=acosθ，y=bsinθ，（θ为参数），可设点P坐标为（acosθ，bsinθ）（0≤θ≤2π），线段OP的中点Qcosθ，sinθ. 因为AP=OA，所以AQ⊥OP，所以kAQ·k=-1，所以bksinθ+acosθ=-2a，分析可知2a≤<，所以k>，得证.

评析：上述求证斜率取值范围时引入了椭圆参数方程，避开了复杂的联立方程，根据隐含条件直接分析斜率取值.需要注意在等价变形、缩放过程中确保原题条件不变、取值范围不变.

关于简化运算的解后思考

“多思少算”是解析几何问题求解中倡导的思想，上述针对解析几何问题深入探究了四种常用的简化运算的技巧，实则就是根据问题特征来调整分析思路，下面开展解后思考.

1. 把握问题特性，理解问题本质

把握特性、理解本质是简化运算技巧选定的基础，也是后续构建解题思路的意义所在. 例1中的离心率是描述曲線特性的要素，理解其几何意义是定义法简化过程的基础;而例2采用的设而不求则是充分把握了一元二次函数中“根与系数的关系”;例3的数形结合则是从圆的特性入手，把握了半径的定值特性实现了问题降维. 因此，教学中需要教师引导学生注重读题，关注问题特征，挖掘问题本质，多思少算简化求解.

2. 开展多解探究，重视总结归纳

上述四道例题呈现了四种简化运算的技巧，实则是与问题的多解特性有关，上述问题的常规思路也是高中数学需要学生充分掌握的通性通法，因此开展问题多解探究是十分重要的. 通过多解探究可以深刻认识问题，同时方法的对比中可以获得类型问题的优化策略.例如上述例4在设定点坐标时可以使用椭圆的标准方程，也可以使用参数方程，显然后者更有利于求解与斜率相关的问题. 因此开展解题教学中需重视分析解题方法，引导学生养成勤思考、多总结的学习习惯.

3. 渗透思想方法，提升数学素养

简化运算的方法技巧中蕴含着大量的数学思想，例如上述“设而不求”中的整体思想，“数形转化”中的数形结合思想，“巧设引参”中的参数和方程思想，实际上方法背后的数学思想才是其精髓所在，也是学习简化运算技巧的重点.因此在教学中需要合理渗透思想方法，引导学生关注方法背后的思想内涵，逐步养成以思想为指引，开展问题探究的习惯.由于数学思想较为抽象，教学中可以结合教材内容进行，使学生掌握思想方法的分析策略.

总之，上述阐述的四种方法技巧具有一定的代表性，在实际解题时需要指导学生灵活使用，但需谨防过度思维，造成不必要的错误. 在教学中要大力提倡“多思少算”，引导学生重视问题分析，领悟简化运算技巧的思想内涵，提升学生的数学素养.