李煜彦

（陇南师范高等专科学校数信学院，甘肃 陇南 742500）

引言

近年来，许多作者借助于 Gomez Pardo［1］在1985年提出的τ-本质子模的概念，进一步丰富了extending模的研究范畴（其中τ=（T，F）表示遗传挠理论）。若M的每个闭子模是M的直和因子，则称M是extending模。2011年，Asgari和 Haghany［2］利用 τ-本质子模引入了模M的维数，称其为M的 τ-秩。2012年，Ceken［3］和 Alkan［4］利用 τ-本质子模引入了 τ-extending模的概念，并研究了相关于挠理论的UC模，若模M的任意子模都存在唯一τ-本质闭包，则称M是τ-UC模。2014年，Albu［5］利用τ-本质子模证明了相对Ossofsky-Smith定理。2011年，Asgari和 Haghany［6］从 Goldie挠理论的角度研究了模M的t-本 质 子模和t-闭子模，证明了包含Z2（M）的t-闭子模是闭子模。2014年，Asgari［7］引入了t-闭包的概念，对于M的子模C以及非奇异子模A，证明了C是A的t-闭包的条件是当且仅当C是A的本质闭包，同时他们还研究了M的任意子模的t-闭包的存在性。随后，2014至2019年期间，Asgari等人［8-10］利用t-本质子模又相继研究了t-半单模、t-连续模和t-拟连续模，并分别证明了M是t-半单模（t-连续模，t-拟连续模）当且仅当M=Z2（M）⊕M′，其中M′是非奇异的半单模（连续模、拟连续模）。

受以上文献的启发，一个很自然的问题是：什么情况下模M的任意子模都存在唯一t-闭包？解决上述问题并如何与t-extending模建立联系是研究问题的难点。本文把任意子模都存在唯一t-闭包的模称为t-UC模。利用环模理论的研究方法，进一步对UC模和τ-UC模进行了推广，讨论了t-UC模的若干等价刻画，研究了t-UC模关于子模和商模的封闭性。与研究τ-UC模不同的是，本文给出了t-UC模未必是UC模的例子，这充分说明了研究t-UC模的必要性。

本文中的环都是有单位元的结合环，模指酉右R-模。……