唐自敏，秦 敏，原子霞

（电子科技大学数学科学学院，成都 611731）

引言

经典的Boussinesq方程形式为：

其中φ（x，t）表示流体自由表面的运动，α和β是常数，仅依赖于长波的特征速度和流体的深度。该方程用以描述潜水波表面小振幅长波的传播状态，由法国著名的数学家，物理学家 Boussinesq［1］首次提出。Barostichi与Figueira［2］得到了当 α=1时的方程（1），即“好”的Boussinesq方程，在Gevrey空间上解的适定性和全局正则性。Xue［3］研究了有界域上“好”Boussinesq方程的初边值问题。给出了该初边值问题的局部和全局适定性。

相对的，当 α=-1时，方程（1）被称为“坏”的Boussinesq方程。Yang和 Wang［4］对“坏”Boussinesq型方程初边值问题解的爆破问题进行了研究。随着对Boussinesq方程的广泛研究与应用，开始出现含有不同形式的非线性项的Boussinesq方程。方程φtt=φxx-αφxxxx+β（f（φ））xx被称为广义 Boussinesq方程。Linares和Scialom［5］研究了含有一个一般形式的非线性项的Boussinesq方程的初值问题

其中f（φ）=α-1φ，α＞1。此后，Dimova和Kolkovska［6］为分析孤立子轨道的稳定性与不稳定性，研究了具有两个非线性项的 Boussinesq方程 φtt=φxx-hφxxxx+（f（φ））xx，其中

f（φ）=aφ2+bφ3，h＞0，a，b∈ R，b＞0，a2+b2≠0。对于具有更一般的形式的两个非线性项的广义Boussinesq方程：

φtt=φxx-φxxxx+（aφp+1+bφ2p+1）xx，p＞0.Zhang［7］运用了Grillakis-Shatah-Strauss的轨道稳定性理论，得到了判断该方程孤波解的稳定性的一般性结论。此外，Lin、Wu和 Loxton［8］考虑了当f（φ）=-Δφ+ωφ时的情形，证明了在一定条件下问题（2）的解是爆破的。关于f（φ）被其它形式的非线性项所代替的情形具体可参看文献［9-11］。

在研究含有不同形式的非线性项的广义Boussinesq方程的基础上，具有高阶项的广义Boussinesq方程也开始被深入研究。Wang和Esfahani［12］在一维空间中研究了含有六阶项的Boussinesq方程的柯西问题

其中f（φ）=，β=±1。证明了该方程的解在中是全局适定的。基于Wang和Esfahani的……