吴燕春

[摘  要] 发散性思维和聚合性思维的培养不仅关系到学生创造性思维的培养，而且关系到课堂教学的有效开展，同时对数学核心素养的达成也具有重要意义. 因此，在数学这场思维盛宴的教学活动中，教师需充分关注对学生发散性思维与聚合性思维的锻炼与发展，从而开启学生的创造之门. 文章结合例题，论述两种思维能力的培养路径.

[关键词] 发散性思维;聚合性思维;发展;创造性思维

数学教学需着眼于学生思维水平的提升，其重要目的在于培养学生的数学思维品质. 新课改后，数学教学定位于培养和发展学生的创新能力，这就需要教师在教学的过程中强化创造性思维能力的作用. 事实上，创造性活动的过程，需要经历聚合性思维到发散性思维，再由发散性思维回到聚合性思维的多次循环往复的过程才能得以完成. 因此，在数学这场思维盛宴的教学活动中，教师需充分关注对聚合性思维与发散性思维的锻炼与发展，从而开启学生的创造之门. 下面笔者就结合自身的教学实践，谈谈如何培养学生的聚合性思维与发散性思维.

发散性思维的培养路径

发散性思维属于一种高层次的思维形式，同时它也是创造性思维的核心，对学生思维能力的提升起到了关键性的作用. 为了充分发挥其优势，我们在教学中可以采用多种教学策略加以培养，以达到举一反三的效果.

聚合性思维的培养路径

发散性思维可以使我们的探究更深入，可以使我们拥有更多的经验，可以使我们的解题思路标新立异. 但是，数学解题中，仅有发散性思维是远远不够的，我们还需与之相辅相成的聚合性思维. 事实上，作为创造性思维的基本成分之一的聚合性思维，是学习者聚集与问题相关的所有信息，在深入思考的同时进行重组与推理，以寻求唯一答案的一种收敛性思维方式. 归根结底，聚合就是优化处理信息，因此，注重数学知识的迁移可以有效地提升聚合性思维.

例如，解答计数原理问题时，可以给出以下一般性方法：解决不相邻问题时则插空，解决相邻问题时则捆绑，解决定序问题运用除法，等等.

例4：小刚有6个球，其中黑球有3个，红球、白球、蓝球各一个，现从中取出4个球排成一列，一共有多少种不同排法？

分析：若学生从一般性思维出发，将黑球分类，分成3个、2个、1个三种情况，先选球再排位置，可得CCA+CCA+CCA，导致错误. 那么，哪个环节出错了呢？经过思考，可以看出出错的根源在于黑球无须选择，同时在排位置时无论黑球的顺序如何改变均不影响结果. 事实上，当黑球为2个时，倘若从3个中选取2个则显得多余，原因在于球是相同的，任意拿2个都不影响结论;那么当2黑1蓝1白排位置时，为何又不是A呢？原因在于黑球交换顺序并不影响结果，这里的错误源于在解决具体问题时，不知变通而造成的思维卡壳. 事实上，思维的聚合性并不需要过分强调，尤其是当学生对知识有了系统的认识和理解时，无需作过多的引导，而应在潜移默化中稳步提升.

例5：某公司1组有10名技术工，其中4名为女技术工，2组也有10名技术工，其中6名为女技术工. 现以分层抽样的形式，从1组和2组两组中共抽取4名技术工进行考核.

（1）1组和2组两组中各需抽取多少人？

（2）试求出从1组中刚好抽取1名女技术工的概率;

（3）试求出所抽取4名技术工中刚好有2名男技术工的概率.

分析：本题以概率统计知识为载体，考查学生基础知识的同时又考查学生处理事件概率的能力. 本题的解题思路单一，第（1）问可借助分层抽样原理得出人数;第（2）问通过组合公式即可求出概率;第（3）问需要厘清问题的内涵，并正确分类方可求出概率.

解：（1）据分层抽样原理，因为两组均有10名技术工，共需抽取4名，所以每组各需抽取2名.

以上具有一定思维难度的例题中不断派生出聚合性思维训练的技巧，有助于学生的掌握和应用，通过训练并经常自觉运用，学生的思维方法将会得到大幅度提升，引导学生思辨出聚合性思维静态的讨论，促进聚合性思维趋向成熟.

总之，在数学学习中，我们需合理运用发散性思维和聚合性思维进行学习和解题，进而梳理一种科学的思维方式，提升数学学习效率. 有机结合发散性思维和聚合性思维可以让我们更加灵活地运用数学思维解题，同时在两种思维相互制约而成的“張力”下，最大限度地发展创造性思维能力，全面提升自身的思维水平，发展数学核心素养.