闫慧凰，武惠俊

（长治学院数学系，山西长治046011）

1 有关符号说明和定义

Z2=｛｝表示模2的剩余类环，它是一个仅有两个元的有限域。为方便书写，文中分别用0，1表示，以后不专门说明.记对应方程组的解的个数为n.其余符号和术语与文献［1］［2］一致.

定义1 Z2上的线性方程组指形式为

的方程组，其中 x1，x2，…，xn代表 n 个未知量，s为方程的个数，并且 aij，bi∈Z2，（i=1，2，…，s，j=1，2，…，n）.

定义2（1）式中当bi=0（i=1，2，…，s）时的方程组称为 Z2上的齐次线性方程组.

2 Z2上的齐次线性方程组的解

定理1Z2上的n元单个线性方程的解的个数为个2n-1（n≥1）.

证明：（i）当n=1时，结论显然.

（ii）假设当n=k时，命题成立.即齐次线性方程组x1+x2+… +xk=0有2k-1个解（由于Z2中仅有0，1两个元素，由对称性则知方程组x1+x2+…+xk=1的解的个数也恰为2k-1个）.则当n=k+1时，齐次线性方程组x1+x2+…+xk+xk+1=0的解有且仅有以下两种情形：

对于以上情形（i），解的个数显然为2k-1个；

对于以上情形（ii），解的个数显然也为2k-1个；则方程x1+x2+… +xk+xk+1=0的解的个数为：2k-1+2k-1=2·2k-1=2k=2（k+1）-1个.

故Z2上的n元单个线性方程的解的个数为2n-1个（n≥1）.

推论1对于Z2上的n元单个线性方程，若其中k个未知数的系数为1，其余n-k个未知数的系数为0，则方程的解的个数亦为2n-1个.

证明：对于系数均为1的k个未知数的方程，由定理1知，解的个数为2k-1个；对于系数为0的n-k个未知数，每个未知数的取值均有0，1两种可能，由乘法原理，则这n-k个未知数的总共取法为可得方程解的个数为2k-1·2n-k=2n-1，结论得证.

定理2Z2上的n元齐次线性方程组，若所含的方程个数为2个，则当r（A）=1时，解的个数为2n-1；当r（A）=2时，解的个数为2n-2.

证明：r（A）=1时，由定理1知，结论显然；

（其中 i1，i2，…ik及 j1，j2，…jk为 1，2，…，n 中的不同数码）.下面分三种情形分别予以证……