朱鹏 朱麒

摘 要：大型压力机偏心套是一种典型的复杂截面问题的求解，文章通过柱体扭转问题的应力函数以及多连域转化为单连域的方法为基础，应用有限元/边界元法，提出 “孔洞拟填充”的方法，并利用有限元分析软件ANSYS Workbench以偏心轮为例模拟求解扭转问题。结果证明该方法可以适用于任何截面的杆件，从而为今后复杂截面杆件的扭转问题的研究计算提供了依据。

关键词：复杂截面;应力函数;多连域;孔洞拟填充;有限元;扭转

1引言

在車辆以及机械设备中，普遍使用承受扭矩载荷的部件 （如偏心轮，偏心齿轮） 及采用非圆截面（如矩形、三角形，椭圆形等）的轴，这些承扭件的横截面往往为复杂的多连通域，对其扭转问题通常难以求得解析解，从而使其强度和刚度计算成为设计中的难点。如何借助计算机和现代分析手段，来分析承扭杆的结构的问题，并精确求解这些扭杆件的应力、应变状态及抗扭刚度，具有一定的研究价值。因为扭杆件的应力、应变状态及抗扭刚度是分析设计的基础。

2 复杂截面扭转问题的理论分析

对于复杂截面扭转问题的求解，我们可以将其看作是对多连域截面问题的求解。目前处理此类问题所采用的方法有虚边界元法[1]，变分解法[3]，边界条件的分离变量法[5]，复变函数法[6]，多连域转化为单连域[7]，有限元法[8]等。本文以有限元/边界元法及多连域化为单连域的方法为基础，应用孔洞拟填充思想来处理复杂截面的扭转问题。

2.1有限元 / 边界元法

根据弹性力学中在柱体周围的侧面上的应力关系及柱体扭转问题的性质，可以得出应力在边界上的关系式：

由（1）式可得知应力函数在边界上一定是一个常数。

对于一般情况下的多连域截面扭转问题，其图形如图1所示：

则多连域截面的扭矩可以写成下式：

对（2）是进行积分计算，并运用格林公式将面积的积分转化为沿曲线的积分，所以（2）可以简化为：

2.2孔洞拟填充法

随着等值面数的增加以及区域Ω0（截面域）形状的复杂，结果的求解也将变得复杂起来，原因是由于多连域及其内部的边界条件存在，使得结果的求解处理难以进行。那么究竟采用什么方法可以有效的避免多连域和边界条件的影响呢？因此，考虑到有限单元法，因为有限单元法可以把计算域划分为有限个互不重叠的单元，在每个单元内，选择一些合适的节点作为求解函数的插值点，从而可以把复杂问题简单化，因此利用它可以方便的进行复杂力学问题的求解。所以要将所要解决的多连域问题转化为有限个小单元进行计算求解。

根据应力函数理论，可知多连域截面扭转问题的控制方程（欧拉方程）和边界条件的一般形式为：

式中n表示每个小单元节点的个数;Φe表示单元的应力函数并且满足强制性边界条件;Νi为试函数（形函数）。

由式也可以得出如下关系式：

3 实例分析

4 2有限元分析

将偏心轮的模型图（其模型图如图3、图4所示）导入到ANSYS Workbench中，进行加载、约束、定义分析类型、分析选项、载荷数据和载荷选项等步骤， 然后开始有限元求解，其中对图3 采用有限元法求解，图4采用孔洞拟填充法求解。在进行分析求解时，选偏心轮的材料为碳素钢，两种情况下偏心轮所具有的基本参数如表1、表2所示：

对图3、图4的两种情况下的偏心轮进行划分网格，网格划分后的图形（如图5，图6所示）

对以上偏心轮的模型加载求解（如图7、图8），经求解处理后偏心轮在两种

5 结论

（1）对于不对称的复杂截面以及多连域截面扭转问题的求解，经典的材料力学求解方法已经不适用。 由于多连域法计算量比较大，边界处理起来比较烦锁，因此本文在有限元的基础上，基于虚边界元[1]、轮廓的孔洞填充算法[2]和虚单元[9]提出了“孔洞拟填充”的思想，将多连域问题转变为单连域问题来模拟求解。

（2）“孔洞拟填充”的思想处理多连域问题的求解比较方便，与一般方法相比减少了工作量，从而使得对求任意截面的多连域问题具有一定的优越性。

（3）“孔洞拟填充”方法不受截面形状的限制，因此可以广泛应用于各种复杂截面扭杆问题的设计及分析。

参考文献：

[1] 钱伟长，林鸿荪，胡海昌等.弹性柱体的扭转理论[M].科学出版社，1956.

[2] 王祖成，汪家才.弹性和塑性理论及有限单元法[M]. 冶金工业出版社，1983.

[3] 朱加铭.有限元和边界法[M].哈尔滨工业大学，2002.

[4] 杨冬升，凌静.虚边界元多连通区域边界离散及边界条件分析[J].佳木斯大学学报，2011，29（2）：161-163.

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