许敏燕

【摘要】学生在计算小数乘法简便运算时总会出现各种各样的错误，其中，乘法结合律和分配律的应用混淆是最为突出的。学生对这两个运算定律的应用只是处于机械地公式套用层面，而没有真正理解其本质含义。面对这样的现状，文章决定从“根”上下手“治疗”，利用数形结合的思想，通过画图的方法，使学生真正理解运算定律的含义。

【关键词】数形结合；运算定律；小数乘法

小数乘法是人教版五年级上册第一单元的学习内容，尽管整数乘法和小数点的移动都是已经学过的知识，然而学生在计算过程中还是出现了各类错误，简便计算这部分错误更为明显。在一次练习测试中，本班41名学生的计算错误令笔者感到震惊：7道小数乘法简便计算题，只有7名学生全对。通过对剩下的34名学生进行错因的分析，其中计算方法掌握不当的学生竟占63.4%。基于这样的学情，笔者决定对这部分知识进行改进教学。为了更为精准地定位学情，对本班学生进行了第二次专项简便计算练习。共8题，40名学生（1人请假）参加测试，只有5名学生全对。对35名学生的错误进行了仔细的分析，情况如下。

第1题：0.8×0.25×0.4×12.5，错误5人。错误举例：0.25 ×0.4=1；10×0.1=10；12.5×0.8+0.25×0.4。错因分析：对25×4=100不敏感；小数点移动有问题；与分配律混淆。

第2题：56×1.25，错误8人。错误举例：8×1.25=100；8×8×1.25；8×1.25×7×1.25。错因分析：小数点移动有问题1人；方法不会5人；与分配律混淆3人；对125×8=1000不敏感2人；56拆分错误2人。

第3题：0.25×149×1.6，错误19人。错误举例：0.25× 0.4=1；149×0.4=596（3人）；1.6=0.4×0.4（4人）；1.6=4×4（3人）；1.6=0.8×2；1.6=0.4×1.2；262.85×1.6；0.25×1.6÷2×149；0.25×0.4+149×0.4；0.25×1.6×149；0.25×1.6×149=0.4×149；0.25×0.4×149+0.4。错因分析：小数点移动有问题；有8人对拆分1.6出错；对25×4=100不敏感；不会拆分有2人；与分配律混淆有2人。

第4题：234×10.1，错误8人。错误举例：10.1=10-0.1（2人）；234×0.1=2340；2340+23.4=257.4；234×10=234（2人）。错因分析：拆分10.1有问题2人；小数加法、小数点移动有问题3人。

第5题：9.8×7.16，错误18人。错误举例：9.8=9+8；9.8= 10+0.2；9.8=9.8+0.2（2人）；71.6-1.432=57.28；0.2×7.16= 14.32；10×7.16=716；0.2×7.16=2.132（=1.732）；9×7+8×0.16；9.8×7+9.8×0.16（2人）；9.8×（10-2.84）。错因分析：9.8拆分有问题4人；小数点移动问题2人；小数减法出错7人；小数乘法出错2人；分配律有问题3人；方法不太妥3人（先拆7.16再用分配律）。

第6题：6.1×3.6+3.6×3.9，错误3人。错误举例：3.6× 10=360；6.1+3.9+7.2。错因分析：小数点的移动有问题；不会分配律的逆运算。

第7题：79.9×13.7+87.3×7 9.9-79.9，错误13人。错误举例：13.7+87.3-1=10.1；（13.7+87.3-79.9）×79.9（2人）；79.9×（13.7+87.3）（2人）；79.9×（13.7+87.3）；79.9×13.7+ 87.3×79.9；79.9×100-79.9。错因分析：小数加减法出问题有6人；没有理解1个79.9的意思有2人；没有处理79.9有2人；开始没有处理79.9，后来又补上去了的有2人；79.9的处理不是最佳处理方式。

第8题：8.8×1.259，错误6人。错误举例：8.8=8-0.8；8.8= 8×11（3人）；8.8=8×0.8；8×12.5=2。错因分析：拆分8.8出错的有5人；对8×125=1000不敏感的1人。

对上述学情进行整理、统计，提出相应的应对措施，进行教学设计（如表1）。

从不同角度对学生的错因进行分析后发现，其实60%的学生对整数乘法的运算定律掌握出现了问题。因此，如果只是对“历史遗留问题”进行反复的操练，学生不但不能有所改善，反而会越发糊涂。让学生通过数形结合，重新认识运算定律才是当务之急。基于这样的思考，笔者设计了如下的教学实践。

一、谈话导入

同学们，昨天我们做了36×2.5这道题（板书：36×2.5），老师把大家的方法进行了罗列，现在我们一起来看一看，哪些做法是对的？哪些是不对的？为什么？

预设：“1、2分别运用了乘法结合律和乘法分配律，而3、4、5方法用错了，3应该把加号改成乘号，4多乘了一个2.5，应该去掉，5后面还得是0.5乘36。”

“为什么要这么做呢？”

预设：“因为根据运算定律是这样的。”

“这样的解释还是没有说明为什么再乘2.5就錯了，不乘才是对的。看来大家都只是会做，但为什么这么做这个道理都说不清楚。”

二、利用数形结合，理解运算定律

1.理解36×2.5的意义

（1）我们来看36×2.5这道算式，你觉得这道算式可以解决什么样的问题呢？

预设：“36个2.5是多少？”

（2）他从乘法的意义进行了解释，能不能结合生活实际来说说看。

预设1：“买36支笔，每只笔2.5元，一共需要多少元？”

预设2：“可以解决长方形的面积问题。”

（3）同学们举了不少例子，真不错，那在这些例子中，它们有什么相同的地方呢？都是在求36个2.5是多少？（板书：36个2.5是多少？）

2.数形结合，理解运算定律的应用

（1）独立探究。大家脑海里都有了一些例子，下面请你利用这些例子来有理有据地说一说为什么1、2是对的，3、4、5是不对的。现在你可是荣升为一名研究者咯，请看清楚研究要求：选择自己喜欢的例子（可以是刚才同学举的，也可以是你自己想到的），通过画一画、圈一圈等方式来解释为什么1、2的简算过程是对的。也可以用这样的方式来解释为什么3、4、5的简算过程是不对的。

（2）小组合作。下面以四人小组为单位进行相互学习和交流，请看清楚合作要求。

①把研究结果相互交换，试着读懂其他三个同伴的方法。②如果读不懂，再请教同伴。③想一想，方法之间有什么联系。（共同点是什么？不同的是什么？）

解释第1、2题为什么是对的（学生作品）。尽管从运算定律的本质含义上去解释第3、4、5题为什么是错的很难，但是有时你真的不得不佩服学生的创造力。

（3）全班交流汇报。现在请几个组上来介绍自己的研究结果，有请分享者之前，老师想对倾听的孩子们提出要求，请大家边听边思考：

①方法对吗？有什么建议？②你受到了什么启发？③对他的方法，你有什么疑问？

分享者介绍完自己的方法后问同学们：我的方法对吗？你们听懂了吗？你受到了什么启发呢？你还有什么疑问？

（4）回顾小结。同学们，你还记不记得刚开始我们是怎么来解释这5个题目的对错的？我们只说了运算定律的应用，而现在我们又是怎么来解释的？举了具体的事例，画了很多的图形，有具体物品价格的图，有图形面积的，这样有理有据的解释更加直观，显得与众不同，别人更加能理解。是的，在这个过程中，你有什么收获？

①通过各种画图的方式来解释更为直观、更好理解了。②都解释了36个2.5是多少？

三、练习巩固

出示：79.9×7+4×79.9-79.9。

想一想，你准备用什么事例或画怎么样的图形来说清楚这个题呢？同桌相互说一说。

四、课堂小结

今天我们通过“36个2.5是多少？”这个例子对小数乘法简便计算进行了重新认识，相信今后你一定能有理有据地分析简算了。

利用数形结合的数学思想，通过创造情境、画图表示的方法，学生对乘法结合律和分配律有了较为丰富的认识，真正理解了其数学的本质含义，做到了“知其然更知其所以然”。这样的改进，这样的教学实践，不仅从根本上解决了“历史遗留问题”，而且为学生今后学习分数的简便计算铺路搭桥。

【參考文献】

[1] 中华人民共和国教育部.义务教育数学课程标准（2011年版） [M].北京：北京师范大学出版社，2012.