纳文, 曹越琦, 张世强, 孙华飞

(北京理工大学 数学与统计学院, 北京 100081)

线性系统的稳定性和最优控制是引人注目的研究课题. 经过多年的研究，针对上述两个问题已经积累了多种方法. 可以通过求解李雅普诺夫方程来研究系统的稳定性，也可以利用求解Riccati方程来研究系统的最优控制问题. 通常情况下是在欧氏空间中求解上述两个方程. 通过引入几何方法，即利用建立在黎曼空间上的测地距离来代替欧氏距离，可以给出更加精确的求解方法. 在之前的工作中，作者利用几何方法给出李雅普诺夫方程的求解方法，由此研究线性系统的稳定性问题[1-3]. 同时，还利用几何方法给出了Riccati方程的一种求解方法，用以研究线性系统的最优控制问题[4].

在本文中，首先介绍Riccati方程，然后介绍建立在正定矩阵流形上的几何结构,最后，给出Riccati方程的新的求解公式. 文中给出了正定矩阵流形上关于对数欧氏度量下的黎曼梯度公式，以及正定矩阵上由纤维丛给出的黎曼度量的梯度公式. 利用上述黎曼梯度可以给出Riccati方程的新解法.

1 最优控制与Riccati方程

设线性常定系统状态方程

x(t)=Ax(t)+Bu(t),x(t0)=x0，

(1)

式中：x∈Rn,u∈Rm分别为状态向量和控制向量. 如何确定最优控制u*(t), 使得系统的二次型性能指标

(2)

达到极小值,式中Q,R为2个常正定对称矩阵. 当系统完全能控时, 指标J的最优控制u*(t)存在唯一, 即

u*(t)=-R-1BTPx(t)，

(3)

式中P为n阶正定常数矩阵, 满足下列的Riccati方程[5]

PA+ATP-PBR-1BTP+Q=0.

(4)

论文的主要内容即对上述给定的Q,R以及系统中带有的A,B，利用几……