杨煜东 （内蒙古自治区呼和浩特市第二中学）

函数值域问题和最值问题是两个不同的概念。简单地说，存在最值的函数，其未必有确定的值域；反之，值域确定的函数未必有最大值、最小值。只是在常见的一些函数中，函数值域与最值的求解方法是相通的、类似的。归纳起来，常用的方法有：观察法、配方法、分离常数法、判别式法、反解法、数形结合法、换元法、均值定理法、对勾函数法、导数法

一、观察法

某些函数形式比较简单，可以通过观察法较为迅速地得出函数值域，例如求下列函数的值域：

（2）f(x)=1-2x，x∈R

分析：以上三个函数分别属于含绝对值函数、一次函数、分段函数，其定义域已经给定，其各自的值域我们可以通过观察的方法迅速得到，分别为：（1）{-1，0，1}；（2）R；（3）{0，1}

二、配方法

以二次函数的相关性质、图像为依托，利用数形结合思想求解某函数在给定区间的最值和值域问题。这种方法一般适用于形如：

求函数的值域:f(x)=x2-2x-3，x∈［-2， ］2

分析：f(x)=(x-1)2-4

此函数为标准一元二次函数，其图像为

小结：对二次函数型值域问题，我们通常可以采用配方并结合图像的方法求解。

三、分离常数法

分析：由x2+x+1＞0 得，该函数定义域为R

令 u=x2+x+1，则

小结：分离常数的方法也可用于上述类型函数值域的求解，同时，以上解法中整式相除的方法值得关注，会为我们解题带来便利。

当然上述例题也可以用其他方法求解.

四、判别式法

（1）在△≥0中，应考虑“=”是否成立

（2）由于在变形过程中涉及去分母,故应考虑函数的定义域是否为R

（3）应讨论 f(y)=0 的情形

（4）原……