范桂梅

摘 要：在小学数学中，分数知识是比较抽象又非常重要的内容。学完分数意义后，学生不会正确区分、处理数量和分率。针对这一情况，笔者结合自己的数学对出错的原因加以分析，找出解决问题的策略。

关键词：分率; 数量;错例分析 ; 对策

在小学数学中，分数知识是比较抽象又非常重要的内容。学生学完“分数的意义”后就要学习“分率”和“用分数表示的具体数量”这一知识。数量和分率是两个相关而又不同的概念。在解题过程中，有些学生不会正确区分、处理两者关系，甚至到了六年级下册总复习时，学生的作业错误率仍然没有下降。因此，“分率”和“具体数量”是小学数学教学中公认的一个难点。那到底是什么原因让学生感到分数学习如此艰难呢？怎样让学生能够在学完分数的意义后正确区分分率与具体数量呢？下面笔者结合自己的教学谈谈自己的做法。

一、教材分析

众所周知，分数是小学数学学习中的一个重点。人教版小学数学教材关于分数学习内容的编排主要分为三个阶段：第一阶段在三年级，学生已经学了分数的初步认识，认识了几分之一，也会简单的加减法。第二阶段是五年级，学生系统地学习分数的意义，理解了单位“1”，知道什么叫分数、分数与除法的关系、分数的基本性质，其中分数的意义是最重要的。通过系统学习，学生在已有基础上，由感性认识向理性认识发展，也为后续的分数学习打下了基础。第三个阶段在六年级，主要学习内容包括倒数的认识、分数的乘除法计算和相关解决问题、分数与比的关系等。

从学生的角度来看，学生开始学习分数是在三年级，学习单位“1”表示为一个物体（如一个苹果、一个圆形、一米线段）时，与学生已有经验中所确定不变的自然数“1”相一致，多数学生觉得简单易学。但在五年级进一步学习分数的意义，当单位“1”表示为物体有多个（如几个梨子、20个三角形、23条1米长的线段）时，自然数“1”就与单位“1”有了冲突，学生对两者的理解产生模糊。因此，本单元教学的主要任务是帮助学生重构与拓展单位“1”的含义，进而揭示分数的本质。但是学生在初步利用分数解决问题时，就暴露出很多问题，如对分数的意义运用混淆不清，解决问题张冠李戴。在“分数与除法”这部分内容中，“把3个月饼平均分给4人，每人分得多少个月饼？”，这时出现了用分数表示具体数量，从率到量，学生容易混淆，学习起来困难。

二、错例及原因分析

（一）概念模糊

分率与数量是两个不同的概念，数量是带单位的，而分率没有带单位。从内涵上可以看出具体数量是一个让人一看就明白数量的多少，而分率则涉及单位“1”的量，表示部分与整体的关系，还表示两个独立量之间的关系。

【错例1】一根绳子长2米，把它平均分成3段，每段是全长的（），每段长（）米。

错误分析：在教学完“分数的意义”后，学生练习时出现上述错误。两个问题放在一起时，学生错误相当多。我们分析错误的原因是两个问题放在一起，类型相似，（特别是求具体数量题目后面不加单位）好多学生弄不清哪个是求分率，哪个是求分数表示的具体数量。究其原因，从根本上来讲，学生对分数的意义还是理解不够，分率是表示把单位“1”平均分成若干份，而具体数量是用总量进行平均分。正是学生对分数意义的理解不透彻，才导致学生混淆了数量和分率。

（二）整数思维定式

【错例2】 3千克的花生，平均装在5个袋子里，每袋占这些花生的（），每袋花生重（）千克，是1千克的（    ）。

錯误分析：进行求证后，我们发现错误的原因是学生的认知结构出现了问题，他们的头脑里总觉得要求每份数，总数一定要大于份数，而且商一定是一个整数。这是在低年级求每份数时因思维定式造成的，学生头脑中储存着大量的“反面”例证。到了高年级求具体数量且结果不是整数时，学生还是停留在原来的知识水平上。一旦碰到份数比总数大且它的结果不是整数时，学生就感觉自己无从下手，就只能靠猜。整数的知识对学生产生了负迁移。

（三）缺乏生活经验

【错例3】

一堆粮食吨，吃了吨，还剩下多少吨？与一堆粮食吨，吃了，还剩下多少吨？

这题全错的学生非常多，认为剩下的都是用-。

错因分析：学生没有理解吨与的意义，特别是用分数表示的具体数量。这是因为他们没有区分量与率，再加上平时学生不管看到的、交流的大多是整数、小数，而对分数、运用的非常少。学生学完分数的意义后，教师是往率上教学，学生脑袋里没有用分数表示具体数量的概念，对分数表示具体数量相当不习惯，所以对数的理解就有困难了。

三、区分量与率的对策

“分率”和“用分数表示的具体数量”这一知识是分数解决问题教学中的一大难点，也是学生出错最多的地方。怎样降低错误率呢？这是亟须解决的问题，笔者认为可以从以下几个方面来解决。

【解决对策1】理解含义，区别异同

在教学中，可以这样引领学生理解分率和具体数量的含义。出示：1米长的绳子平均分成5段，每段占全长的几分之几？每段长几米？前一个问题“每段占全长的几分之几”表示的是每份与全长的一种关系（分率）。求分率可以引导学生用分数的意义来理解：只要把全长看作“单位1”，平均分成5份，每份就是全长的。分率是没有单位的。后一个问题“每段长几米”所求的是具体数量，可以通过举例帮助学生理解：把40米平均分成5份，每份是几米？学生很容易就知道是平均分，用除法计算：40÷5=8（米），然后再处理成：把1米平均分成5分，每份是几米？列式就是1÷5= 米。这样学生就容易理解了，数量是有单位的。

因此，只有清楚地理解分数的概念，深刻地理解分数概念的不同意义，才能举一反三、触类旁通地学习数学知识，才能够用学到的知识去解决学习和生活中的问题，发展数学学习的能力，提高数学素养。

【解决对策2】画线段图，帮助理解

五年级的学生正处于形象直观思维向抽象逻辑思维过渡的阶段，并且形象直观思维在一定程度上还占据主体地位。如果离开了具体的图形或物体，学生的理解就有困难，就不能根据分数的意义正确解答。学生对分数的意义的理解与掌握还将对其今后学习分数应用题有着重要的影响。

而线段图能够帮助学生从直观向抽象过渡，是分析问题和理清数量关系的好帮手。学生借助线段图可分解难点，发现规律，认识问题的本质。教学中，教师要充分发挥线段图的作用，以这种直观的形式体现数量之间的关系。

例如：3米长的绳子平均分成5段，每段占全长的（   ），每段长（   ）米。

可以用线段图表示

从线段图可以看出每段占全长的（  ），就是把3米长的绳子看成单位“1”，平均分成5份，每份就是占全长的。每段长（  ）米，求的是把3米平均分成5份，每份长是3÷5=（）米。所以第一个问题求的是分率，第二个问题求的是具体数量。

【解决对策3】分清方法，辨析解答

把“1米长的绳子平均分成5段，每段占全长的几分之几？每段长几米？”再变成5米、10米、A米呢？通过观察、对比、分析，理解分率解答方法：把这条绳子看成单位“1”，把单位“1”平均分成几份，就用1÷平均分的份数。具体数量的计算方法： 具体数量是用单位“1”的总数量÷平均分成的份数。每份的具体数量与总长度有关。而分率不管绳子的总长是多少，都是把绳子的长度看成单位“1”，是用1÷平均分的份数。

【解决对策4】加强对比，注意区分

为了进一步认识“分率”和“具体数量”的区别，避免混淆，正确应用，教师设计这样的练习题：“有两根同样长的绳子，第一根用去它的，第二根用去米，哪一根绳子用去的多？”开始有些学生认为这两根绳子用去的长度相等。显然学生对题中的和米的分辨不清，不知哪个是分率哪个是具体数量，后来经过老师引导，学生之后作出了正确的判断：因为不知道这两根绳子的具体长度，第一根绳子的究竟有多长是无法知道的，第二根绳子的米是具体的长度，是可以测量的，所以就不能判断出哪根更长。接着教师提出有挑战的问题：那么在什么情况下就能比较这两根绳子剩下部分的长短呢？什么情况下第一根长？什么情况下两根一样长？

通过巧妙地设问，为学生拓宽了思维空间，既加深了学生对“分率”和“用分数表示的具体数量”之间区别的认识，又渗透了分数解决问题的解题思路，

【解决对策5】充分发挥练习题的功能，降低错误率

通过对比练习，可以使学生更好地分辨此类问题，避免混淆，正确应用，并在练习纠错中不断积累数学经验，降低错误率。

四、结语

分数概念的多重意义性意味着学生必须要跟随教学进度，不斷激发已有的分数学习经验，由浅入深，分步扩展，主动建构新的分数经验，不断扩充，完善对分数内涵和分数概念的认知。

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