宋吉祥 李付鹏 杜海燕

目前大多数测验分析集中在试题难度、区分度以及试卷信度等方面，对试卷结构维度的分析相对较少。实际上，无论是在试题编制阶段还是分数统计阶段，研究者都需要对测验结构的维度进行分析。试题编制阶段的测验结构分析主要探讨试题是否达到预定的考试目标，避免无关维度的考查；分数统计阶段的测验结构分析主要探讨试题的实测结果是否达到预定要求。利用主成分分析（Principal Component Analysis，PCA）技术可以实现测验结构维度的检验。本研究以一份综合了数学和英语学科的分类考试试卷的实测数据为例，借助主成分分析技术，进行试卷结构的维度分析，抽取出试卷考查的主要维度。

一、主成分分析的基本思想

主成分分析是一种在损失少量信息的前提下，把数据的多个指标转换为几个综合指标的多元统计分析方法，核心是数据降维，降维后的综合指标称为主成分，每个主成分都是众多原始变量的线性组合，且每个主成分之间互不相关。对于试卷结构的主成分分析而言，通过考试数据降维分析，将一份试卷的考查维度减少到几个主要的维度。本文以试卷结构分析为例，对主成分分析的基本思想进行介绍。

对于给定的某个考生i 在试题j 上的得分记为xij，假设共有n 个考生参加考试，试卷共有p个试题，那么得分矩阵可记为：

对上述矩阵进行线性变换，形成p 个新变量F1，F2，…，Fp，这些新变量可视为试卷所反映的各个成分，新变量可由原始变量线性表示为：