郭玉峰 郑 悦 于化隆 齐景繁

(1.北京师范大学 数学科学学院，北京 100875；2.北京师范大学 统计学院，北京 100875)

一、问题提出及核心概念

(一)问题提出

数学基本活动经验自2011年作为义务教育数学课程目标之一正式提出，无论在理论界还是实践领域都得到了广泛关注[1]。有关数学基本活动经验是什么[2]23-28？有哪些类型[3]？特点[2]23-28？包含的主要成分或维度划分[2，4]？学生数学基本活动经验的不同水平分层[4]25-29？课堂实践中如何落实[5]？……这些问题一直在探讨中。值得关注的是，相关问题的研究成果逐渐从众说纷纭发展到现在的一定逻辑体系下的逐步明朗和深入，并且对实践教学的指导意义日渐增强。例如，数学基本活动经验是学生经历了数学归纳推理过程和演绎推理过程后积淀形成的用数学思考问题的方式。在这一定义下，通过探索性因子分析和验证性因子分析，分析出数学基本活动经验的四个主成分：观察联想、归纳猜想、数学表达、验证或证明[4]25-29。这一研究成果无疑对明晰数学基本活动经验的内涵和维度，推动相关理论进展及指导教学实践有积极的意义。

基础教育阶段学生在获得数学基础知识和基本技能的同时，也要关注数学基本思想的获得和数学基本活动经验的积累，这是当今数学课程改革的重要动向。而帮助学生积累数学基本活动经验的根本原因在于通过学生经历和感悟数学基本活动的过程，建立一定的数学直观或直觉，为未来的创新奠定基础[6]。在这一背景下，本研究希望了解大学数学专业学生在中学期间积累的数学基本活动经验状况，探究其中学期间积累的基本活动经验对大学数学学习的影响。研究旨在帮助数学专业学生适应大学数学课程、促进数学专业的学习，同时为中学阶段数学基本活动经验课程目标的落实及学生未来发展提供实证数据。研究的主要问题包括：(1)研究问题一：大一新生基础教育阶段积累的数学基本活动经验状况如何？(2)研究问题二：大一新生基础教育阶段积累的数学基本活动经验水平对大学数学学习有没有影响？相关性如何？

(二)核心概念

经验是一个哲学上也难以界定清楚的名词，数学活动包罗万象，最新数学课程标准提出数学基本活动经验的课程目标要求，根本原因在于培养未来创新人才，让学生学会数学思考是学生未来创新的基础。为此，本研究界定数学基本活动经验为：学生经历了数学归纳推理过程和演绎推理过程后积淀形成的数学思考问题的方式。具体成分包括观察、归纳猜想、表达、验证或证明，在每一成分中又包含下一级子维度，如观察的下一级子维度是观察共性、特性，观察事物间的关系(见图1[2]23-28)。

图1 数学基本活动经验的框架结构

二、研究设计和测试问卷的信效度分析

(一)研究设计

针对研究问题一，本研究设计如下：(1)在给定的数学基本活动经验内涵基础上，借助已有研究成果中关于数学基本活动经验的四个维度，自行设计测试问卷调查了解大一新生数学基本活动经验状况。之所以不用已有研究中的测试问卷，主要考虑到测试样本的不同。(2)采取随机抽样的方法，选取一定数量的测试对象进行测试。(3)基于数学基本活动经验的四个维度，借鉴已有研究中关于数学基本活动经验的“模仿阶段、性质阶段和实质阶段”三个层次水平，利用聚类分析的方法分析被测学生在四个维度以及三个层次水平的得分，得到被测学生的数学基本活动经验的水平划分。

针对研究问题二，本研究设计如下：

(1)考虑到数学分析是大学数学非常重要的一门专业基础课，又是大一新生从入学开始就接触的课程，选取这门课的成绩作为大学数学学习情况的代表。(2)将被测学生在研究问题一的得分(即数学基本活动经验测试题中的得分)与数学分析的期末成绩做回归，探究是否数学基本活动经验越丰富的学生数学分析成绩越好。

本研究还考虑到学生的努力程度以及不同教师授课的影响因素，将被测的期中考试成绩作为其努力程度的代理变量，以及将不同教师授课作为虚拟变量，分别进行回归，探讨被试数学基本活动经验水平与数学分析课程期末成绩的相关性。

(二)问卷编制及信效度分析

结合数学基本活动经验的四个维度，本研究自主编制了六道大题，共包括11个小题，分别考察数学基本活动经验的相应维度。其中包含两道几何类题目，两道代数类题目，一道分析类题目以及一道统计类题目。各题考查维度见表1。

表1 测试题各题考察维度

为进一步考察学生数学基本活动经验的总体层次水平，研究将所有题目依照认知层次水平归为三类。归类一：“模仿”类题目，即通过观察问题的共性，考查特例并进行模仿的题目；归类二：“性质”类题目，在特例基础上初步归纳得出规律和共性；归类三：“本质”类题目，需要在归纳基础上看到实质，观察特性和关系，表达规律和共性，并进行验证和证明以及联想。各题所属的归类如表2所示。

表2 测试题各题所属归类

题目计分以每一个小题为单位，独立计分。每个小题记为5分，总分合计55分。

采用克隆巴赫α统计量，利用SPSS软件，得到测试卷内部一致性信度=0.777，试卷可信[7]。采用KMO和Bartlett检验判断问卷各指标的结构效度，其子指标的KMO度量值为0.746，表示子指标具有一定的相关性和区分度，适合做因子分析。其Bartlett球形度检验卡方值为146.785，且检验概率值Sig.<0.001。所以，这份数据具有良好的结构效度。具体见表3、表4。

表3 KMO和Bartlett 检验

表4 可靠性统计量

测试于2018年9—11月随机抽取北京师范大学数学科学学院的100名2018级大一新生进行调查研究。共发放问卷100份，回收83份，其中有效问卷76份，有效率为91.6%。

三、数据结果

(一)针对研究问题一的数据结果

1.问卷的基本数据情况

(1)每小题得分情况见表5；(2)四个维度得分情况见表6，做成统计图见图2～5；(3)三类题目得分情况见表7。

表5 每小题得分情况

表6 四个维度得分情况

表7 三类题目得分情况

图2 “观察联想”维度得分情况

图3 “归纳猜想”维度得分情况

图4 “表达”维度得分情况

图5 “验证或证明”维度得分情况

就数学基本活动经验四个维度的得分情况(图2～5)来看，归纳猜想、表达、观察联想三个维度中，学生表现均呈左偏分布，即高于平均水平的人较多；而验证或证明维度则呈现右偏分布，即大多数同学在该维度的得分低于平均水平，说明这个维度上学生水平参差不齐，很多同学有待提高。从表6的数据进一步看出，归纳猜想、表达维度的得分率均在70%以上，观察联想维度也在60%以上，而验证或证明维度的得分率只有40%，说明学生在验证或证明维度存在问题较大。表7的数据表明，大一新生“模仿类”题目得分最高，而需要把握实质的题目得分则最低。

2.被试数学基本活动经验水平层次的划分

聚类分析依照每题所需认知水平归类情况进行分析。选取学生测试成绩的总分、归类一得分、归类二得分、 归类三得分作为四个聚类指标，对77个测试样本进行聚类分析。采用系统聚类法，开始每个测试样本的四个聚类指标聚成一类，然后每次将最相似的两类合并，合并后重新计算新类与其他类的距离，这一过程一直持续到所有测试样本的四个聚类指标归为一类为止。本研究中，测试样本间的距离定义为欧氏距离，类与类之间的距离采取使用较广泛、聚类效果好的方法——类平均法，即用两类样本两两之间的平方距离作为类之间的距离。注意到有一名同学在填写问卷时只填写了第一题，判定该问卷为无效问卷剔除。在SAS中运行程序，得到输出结果(见表8)。

表8 程序运行输出结果

确定聚类分析中类的个数有几种常见方法，如根据适当的阈值或根据点的散布图直观确定等。此研究中我们根据表8中的统计量(半偏R方统计量、伪F统计量、伪t方统计量)，近似检验合适的类个数。伪F统计量的值越大，表示这些观测样本可显著地分为几类。表8中伪F统计量最大时的聚类数是4，说明根据伪F准则，分为4个类是较为合适的；R方统计量用于评价每次合并成N个类时的聚类效果，R方越大说明N个类越分开，聚类效果好。R方的值随着分类个数N的减少而减少。由表8可知，分为4个类前，R方的减少是逐渐的，而下一次合并后分为两类时，R方下降较多。通过分析R方统计量，可得出分为4个类是较合适的。可见，R方准则和伪F统计量准则均支持分为四类。据此，研究将测试学生群体分为四类，分别对应学生类别一、学生类别二、学生类别三和学生类别四。四类学生的基本信息如表9。

表9 分类结果的基本统计量

(二)针对研究问题二的数据结果

以下进行数学基本活动经验水平与期末成绩的相关性分析。(1)按照已划分的四个类别，计算每类学生期中、期末两次考试成绩的平均分(见表10)。表10的数据显示，随着学生数学基本活动经验水平的提升，期末考试的平均分大致呈现上升趋势，但学生类别3期末考试的平均分反而高于学生类别2。可能的原因是学生类别3样本量较少(只有3人)导致。同时，四个类别学生的期中考试平均分没有明显差距，根据线上访谈及对试题的分析，发现期中试题中的大量题目是平时的作业题和课堂练习的相似题，只要平日认真学习，考试基本都能做对。这也显示了数学基本活动经验水平与期中考试成绩关系不大，而与期末考试成绩可能有着紧密的联系，接下来将建立回归模型量化分析这种关系。(2)回归分析。①变量声明见表11。②回归结果见表12。

表10 四类学生三次测试的平均分

表11 变量声明表

第一，直接将学生的期末成绩对问卷测试成绩做回归。直接将学生的期末成绩对问卷测试成绩(代表刚入学时学生的数学基本活动经验水平)做回归，探究是否数学基本活动经验越丰富的学生，数学分析成绩就越好。回归结果如表12中第2列所示。在0.05的显著性水平下，问卷测试成绩对期末成绩有正向的影响，平均来说问卷测试成绩每提高1分期末成绩就高0.549分，也就是说，数学基本活动经验越丰富的学生，数学分析成绩越好。得到的回归方程为QM=0.549×ZF+62.30。

表12 回归结果

注：1.Standard errors in parentheses；

2.***p<0.01，**p<0.05，*p<0.1。

进一步，将问卷测试成绩按照题目的三个归类(模仿、性质、实质)，计算每一部分的得分，X1代表模仿类题目得分，X2代表性质类题目的得分，X3代表实质类题目的得分。得到的回归方程为QM=0.825×X1+0.384×X2+0.075×X3+58.97。回归结果如表12中第3列所示。在0.05的显著性水平下，X1的系数显著，但同时X2、X3的系数不显著。这说明，只有模仿类题目得分的系数显著，平均而言，模仿类题目的得分每提高1分，期末成绩就要高0.825分，而其他两类题目得分系数不显著。结合对期末试题的分析以及学生访谈，研究发现大一上的数学分析期末试题与平日作业联系较大，解法相通，这也印证了回归结果的合理性。

第二，使用代理变量法，排除学生努力程度影响后，将学生的期末成绩对问卷测试成绩做回归。此外，还有一个重要因素对学生的数学分析成绩有至关重要的作用——努力程度。努力程度是一个难以量化的变量，忽略它可能造成回归结果(尤其是因果逻辑上)的偏差。比如：学生A的数学基本活动经验水平之所以高，是因为他从小学到高中一直努力学习；学生B则没有努力学习数学的好习惯，这导致他的数学基本活动经验水平一般。到了大学，两位学生依然保持原有的学习习惯，如果期末考试成绩学生A高于学生B，这时，无法断定原因究竟是A的数学基本活动经验水平高，还是A的努力程度高。于是，考虑使用学生的期中考试成绩作为学习努力程度的代理变量。根据之前的初步统计分析，表10四类学生期中考试平均分没有明显差距，再根据访谈和对试题的分析，发现期中考试大部分题目都是平时的作业题或课堂练习的相似题，只要平时认真学习基本都能得分。因此，学生的期中考试成绩能够体现平时的努力程度，可以作为努力程度的代理变量。

再次将学生的期末成绩对问卷测试成绩做回归，结果如表12中第3列所示。可以看到，期中成绩的系数在0.01的显著水平下显著，期中成绩每提高1分，平均而言，期末成绩就提高0.448分，代表模仿类题目得分的X1的系数在0.1的水平下显著，模仿类题目每提高1分，平均而言，期末成绩就提高0.685分，其他两类题目仍然统计不显著。得到的回归方程为QM=0.448×QZ+0.685×X1+0.407×X2+0.340×X3+20.88，R2=0.215。这说明，学生的努力程度和数学基本活动经验水平解释了期末考试成绩的21.5%。

第三，使用虚拟变量法，进一步排除教师教学方式和试卷难度后，将学生的期末成绩对问卷测试成绩做回归。

除以上因素外，还考虑到所有被测学生由两位教师授课，学生成绩或许也受到教师的授课方式以及期末试题难度的影响。因此，加入虚拟变量D，D=1代表由教师A授课，D=0代表由教师B授课。仿照之前步骤进行回归，得到的结果如表12第6列所示。可以看到，变量ZF与QZ仍然高度显著，回归方程的R2为0.223。

四、结论及启示

(一)研究的主要结论

1.数学基本活动经验水平划分结果

取样学生数学基本活动经验水平划分为四个类别，大部分学生(60.53%，46人)达到最高类别，极少数学生(5.26%，4人)处于最低层次的两个类别。研究表明，取样大一新生的数学基本活动经验水平总体较好。

2.数学基本活动经验水平与大学数学学习成绩的关系

第一，数学分析期末考试成绩与数学基本活动经验水平密切相关。回归分析结果显示，大一新生的数学分析成绩与他们的数学基本活动经验水平紧密相关。数学基本活动经验水平越高，数学分析成绩就越高。进一步研究发现，这种紧密的联系主要来自测试中模仿类题目的得分，这可能与期末试题及对平时作业的举一反三有关。

第二，排除学生努力程度的影响，数学基本活动经验水平依然对大学数学学习成绩有解释作用。本研究使用期中考试成绩作为努力程度的代理变量，明确了期末成绩和数学基本活动经验水平之间的因果关系，这两个因素在0.05显著性水平下显著，即努力程度和数学基本活动经验水平均对数学分析成绩有影响；回归方程的R2达到了0.215，即这两个变量解释了数学分析期末考试成绩的21.5%。

第三，排除教师教学和期末试题难度的影响，数学基本活动经验水平对大学数学学习成绩依然有解释作用。使用虚拟变量法将两位授课教师区分开，以排除教师教学和期末试题难度的影响，再做回归，发现数学基本活动经验水平的系数依然在0.05显著水平下显著，这进一步印证了数学基本活动经验水平对数学分析成绩的影响。

(二)启示

由于不同中学数学教师的教学水平、教学方式迥异，加上中学期间学生数学学习习惯、方法等不同，导致即使入学时高考数学成绩差异不大的大一新生，在初次接触大学数学分析课程时，仍然呈现出了不同的学习效果。但剔除学生的努力程度以及不同教师教学因素的影响，数学基本活动经验水平与被测学生的数学分析成绩紧密相关的研究结果，印证了大学生对于数学分析乃至其他数学专业课程的学习，均在一定程度上依赖于基础教育阶段积累的数学基本活动经验水平。下面我们从中学一线数学教学、大学数学教学两个方面提出针对性建议。

1.有关中学一线数学教学的建议

中学是学生积累数学基本活动经验的关键时期。如果说小学阶段的学习部分依赖于模仿，中学阶段更多依赖于在经历数学思考的过程中感悟和理解数学的基本概念和命题，领悟数学的基本思想和积累数学的基本活动经验，即经历归纳推理和演绎推理的过程，形成观察联想、归纳猜想、数学表达、验证或证明的数学思考问题的方式。一线数学教师在数学知识的传递、学生数学能力的提高以及数学思维方式的建立方面起到关键作用，这是帮助学生积累数学基本活动经验的重要一环。

落实基础教育阶段数学基本活动经验的课程目标，教师教学过程中应坚持“教师主导、学生主体”的原则，以同理心思考学生所需，在学生已有认知水平基础上，帮助学生理解和感悟知识的来龙去脉以及知识的发生、发展过程。基础教育阶段的数学教育，不仅是传递知识、形成技能的过程，更重要的是让学生经历和感悟数学思考的过程，形成科学的数学思维方式，感悟数学的基本思想和积累数学基本活动经验，为后续学习奠定坚实的基础。

2.对于大学数学教学的建议

既然大一新生对数学专业课程知识的学习与其数学基本活动经验水平紧密相关，我们在关注基础教育教学的同时，也需要反思和总结大学数学课堂教学。根据对被测学生的访谈交流可知，大学数学课堂教学的个性化关注不够，存在某种程度“一刀切”的现象，大班授课下学生的个性化学习难以得到保证。同时，由于大学数学专业课程知识难度的陡然增加，高中数学与大学数学不能很好过渡和衔接等，导致一部分学生在大一入学时产生某种程度的不适应。如何解决这一问题，本研究中学生数学基本活动经验的水平与数学分析成绩密切相关的结论给予很好的启发。

首先，大学数学教学同样需要在传递知识、形成技能的同时，帮助学生理解数学的本质，感悟数学的基本思想，进而积累大学数学学习的基本活动经验。由于大学数学和中学数学在内容、学科分类、抽象程度等的较大差别，大学数学课程是否需要设立数学基本活动经验的课程目标，如何研究大学生的数学基本活动经验水平，以及大学数学教学如何帮助学生积累数学基本活动经验，这些是从事大学数学教育研究中极具挑战性的课题。

其次，大学数学教学需要激发学生学习的兴趣和热情，继续保持旺盛的求知欲，优化大学数学课堂的效能。为此，大学数学教学应注重学生学习的主体地位，考虑学生学习的主观能动性，采用“中班授课”与“小班讨论”“合作性学习”等多种教学方法。例如，“中班授课”可以是传统的教学为主，通过讲授、听讲、理解、练习、记忆等教学环节展开教学活动，使学生掌握系统的专业学科知识，而“小班讨论”则适用于对知识的讨论研究，对习题多重解法的探讨以及学生内部或师生之间观点的争论碰撞等。

最后，相对于高考数学成绩大致差别不大的大一新生，在数学分析课程学习中出现了不同的学习水平，很大一部分原因在于学习方法的选择、学习过程中的努力。因此，大学数学教师要善于引导学生寻找适合的学习方法，帮助学生总结和体会数学中丰富的科学方法，如演绎法、归纳法、命题转化法、化曲为直法、反证法与比较法等[8]。

总之，大学数学教学和中学数学教学较为一致，在数学学习过程中帮助学生建立科学的数学思考问题的方式，逐步积累数学基本活动经验，提高数学素养，为大学数学学习以及未来的工作奠定良好的基础。