王伯龙

摘 要：拉格朗日中值定理是微积分学中的重要定理，应用定理可简洁地解证一些不等式.本文以高考试题为例阐述运用拉格朗日定理解决不等式问题的策略.

关键词：拉格朗日中值定理;高考数学;不等式

1 拉格朗日中值定理

定理 如果函数f（x）满足：（1）在闭区间[a，b]上连续;（2）在开区间（a，b）内可导，那么至少存在一点ε∈（a，b），使得f ′（ε）=f（b）-f（a）b-a成立.

几何意义 定理中f（b）-b（a）b-a是连接曲线上两点A（a，f（a）），B（b，f（b））的弦的斜率，f ′（ε）是过曲线上一点（ε，f（ε））的切线的斜率，那么定理可解释为在曲线y=f（x）上至少存在一条平行于弦AB的切线（如图1）.

拉格朗日中值定理原本是大学《数学分析》课程中的内容，《普通高中数学课程标准（2017年版）》[1]对高中数学课程的结构进行了调整，將拉格朗日中值定理调整到数学选修课程A类“导数与微分”一章中，要求学生会用拉格朗日中值定理证明一些不等式.这样的调整起到了承前启后的作用，为学生将来步入大学学习高等数学打下坚实的基础.其实，在历年的高考试题中，拉格朗日中值定理的影子随处可见，下面举例予以展示.

2 高考试题中的拉格朗日中值定理

例1 （2007年全国高考Ⅰ卷理科第20题）设函数f（x）=ex-e-x.

（1）证明：函数f（x）的导数f ′（x）≥2;

（2）证明：若对所有的x≥0，都有f（x）≥ax，则a的取值范围为（-∞，2].

证明 （1）略;

（2）当x=0时，结论显然成立.

当x>0时，不等式f（x）≥ax可转化为f（x）-f（0）x-0≥a.而f ′（x）=ex+e-x，由拉格朗日中值定理可知，至少存在一点ε∈（0，x），使得f ′（ε）=f（x）-f（0）x-0≥a成立，即eε+e-ε≥a.

由基本不等式得eε+e-ε≥2.

所以eε+e-ε的最小值为2.

所以a≤2.

故a的取值范围为（-∞，2）.

例2 （2010年辽宁高考数学理科第21题）已知函数f（x）=（a+1）lnx+ax2+1.

（1）讨论函数f（x）的单调性;

（2）设a<-1，如果对任意x1，x2∈（0，+∞），有|f（x1）-f（x2）|≥4|x1-x2|成立，求a的取值范围.

解析……