摘 要：直线与圆锥曲线的位置关系问题是近年来解析几何问题中的一个高频考点，尤其是与圆锥曲线有关的相交弦问题，此类问题计算量偏大，属于难点.基于圆的特性及椭圆和圆的内在联系，可以利用伸缩变换将椭圆变换为单位圆，把直线与椭圆的位置关系问题转化为直线与圆的位置关系问题，从而实现“椭圆问题圆解决”，使问题的运算量下降、难度降低.本文就“化椭为圆”法解决直线与椭圆相交问题举例说明.

关键词：化椭为圆;转化与化歸;伸缩变换

椭圆x2a2+y2b2=1a>b>0，经伸缩变换φ：x′=xa，y′=yb，得到x′2+y′2=1，有如下结论[1]：

（1）伸缩变换前后，坐标成比例变换;

（2）伸缩变换前后，直线斜率成比例变换：伸缩变换前，椭圆上任意两点AxA，yA，BxB，yB，连线的斜率（假定存在）k=yA-yBxA-xB，则伸缩变换后，k′=ab·k;

（3）伸缩变换前后，直线与曲线的位置关系不变：设变换前直线与椭圆方程联立消去y所得一元二次方程的判别式为Δ，则伸缩变换后Δ′=a2b2Δ;

（4）伸缩变换前后，面积成比例变换：S′=1abS.

题1 已知椭圆E：x236+y29=1和点P4，2，直线l经过点P且与椭圆交于A，B两点.当点P恰好为线段AB的中点时，求l的方程.

分析 此问题是直线与椭圆相交的中点弦问题，解决此问题的方法有：①借助根与系数的关系，采用设而不求的数学思想;②代点相减法（点差法）;③利用直线的参数方程法[2];④利用“化椭为圆”法.

解析 利用伸缩变换φ：x′=x6，y′=y3，将椭圆E：x236+y29=1变换为圆E′：x′2+y′2=1，点P4，2变换为点P′23，23，所以kO′P′=1 .

因为点P为直线与椭圆E相交弦AB的中点，所以P′23，23为圆E′的弦A′B′的中点.

利用圆的性质可得kO′P′·kA′B′=-1.

所以kA′B′=-1.

即kA′B′=-1=2kAB.

所以kAB=-12.

所以直线的方程为y-2=-12（x-4）.

即y=-12x+4.

通过上述解答……