郑金

摘 要：本文归纳了复合函数的分解方法，并对有关复合函数零点问题利用内层函数图象与外层函数图象相结合的方法进行了巧妙解答.

关键词：复合函数;零点;图象;分解

对于双层复合函数的零点问题，其难度要比单一函数的零点问题大得多，但只要理解和掌握解答这类问题的通法和技巧，就能化难为易.解题的一般思路是：首先把复合函数分解为单一函数，然后求出外层函数y=g（t）的零点，再求出内层函数t=f（x）的零点，即为复合函数y=g[f（x）]的零点.有时需要求出零点，有时不必求出零点，而是判断零点的个数;有时题中给出零点的个数，要求参数的取值范围.对于复合函数零点问题，可借助y-t图象和t-x图象，利用数形结合的方法进行解答，比较直观简便.

例1 已知函数f（x）=2x+1，x≤0，|lnx|，x0，则方程f[f（x）]-12=0的根的个数为.

解法1 （常规解法）令t=f（x），则f（t）-12=0.

先求外层函数y=g（t）=f（t）-12的零点，即解方程g（t）=f（t）-12=0.

由2t+1-12=0可得t1=-14;

由lnt-12=0可得t2=e-12或t3=e12.

再求内层函数t=f（x）的零点，即解方程f（x）=-14，f（x）=e-12和f（x）=e12.

由f（x）=-14可知，2x+1=-14，可得x=-58，只有1个根;

由f（x）=e-12可知，2x+1=e-12或lnx=e-12，可得3个根;

由f（x）=e12可知，2x+1=e12或lnx=e12，其中2x+1=e12无解，由lnx=e12可得2个根.

所以方程f[f（x）]-12=0的根的个数为6.

解法2 （数形结合法）令t=f（x），由f（t）-12=0得f（t）=12.

由于y=f（x）与y=f（t）的图象形状是相同的，因此可在同一坐标系中分别作出y=f（t）的图象和直线y=12，如图1所示，可知有3个交点，即方程f（t）-12=0有3个根.

由图可见，交点的横坐标有1个为负值，设为t1，有2个为正值，其中一个小于1，设为t2，另一个大于1，设为t3.

再作出函数t=f（x）的图象和直线t=t1，t=t2，t=t3，如图2所示.

由图可知，共有6个交点，表明方程f[f（x）]-12=0有6个根.

评注 求f[f（x）]-12=0根的個数，实际是求复合函数y=f[f（x）]-12零点……