吴天斌

摘 要：本文运用数形结合思想求解2019年高考全国Ⅱ卷理科第20题，例析由数想形、由数画形、以形助数、由形化数在解函数题中的应用.

关键词：函数解答题;零点;数形结合

函数解答题往往是高考数学中难度最大的，它不仅运算量大，更为重要的是立意新颖，构思精巧，思维容量大，大多数考生找不到解题的切入点与突破口，而心生畏惧，一筹莫展.数形结合思想往往是解决该类问题的有力杠杆与指路明灯，下面就以2019年高考全国Ⅱ卷理科函数解答题为例，例析由数想形、以形助数、由形化数、数形兼备在求解函数零点等相关问题中的应用.

1 试题呈现

试题 （2019年高考全国Ⅱ卷理科第20题）已知函数f（x）=lnx-x+1x-1.

（1）讨论f（x）的单调性，并证明f（x）有且仅有两个零点;

（2）设x0是f（x）的一个零点，证明曲线y=lnx 在点A（x0，lnx0）处的切线也是曲线y=ex的切线[1].

2 试题解析

2.1 第（1）问解析

思路1 （直接判断法）先对函数f（x）求导，结合定义域判断函数的单调性，画出f（x）草图，取一些特殊函数值，然后结合零点存在定理证明函数f（x）有且仅有两个零点.

解法1 函数f（x）的定义域为（0，1）∪（1，+

）.

由f（x）=lnx-x+1x-1，得f ′（x）=x2+1x（x-1）2.

因为函数f（x）的定义域为（0，1）∪（1，+

），所以f ′（x）>0恒成立，即函数f（x）在（0，1）和（1，+

）上是单调增函数，如图1所示.

根据函数f（x）的单调性与函数值的特殊性，得

f（1e2）=-2+e2+1e2-1=3-e2e2-1<0，

f（1e）=-1+e+1e-1=2e-1>0，

f（e）=1-e+1e-1=-2e-1<0，

f（e2）=2-e2+1e2-1=e2-3e2-1>0.

所以f（1e2）·f（1e）<0，f（e）·f（e2）<0.

由零点存在定理与f（x）单调性知f（x）在（0，1）与（1，+

）上各有一个零点，所以函数f（x）在定义域（0，1）∪（1，+

）内有2个零点.

评注 大多数考生想不到画f（x）的草图.实际上，结合函数图象才更容易想到特殊值lne=1，lne2=2，ln1e=-1，ln1e2=-2.正是这些考生最熟悉而又与题目息息相关的东西帮助他们顺利求解此题……