湖南省长沙市明德中学

《普通高中数学课程标准(2017版)》明确了当代中学生学习数学应具备的必备品格和关键能力,并提炼为六大数学学科核心素养:数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算和数据分析.

作为最具学科特色的逻辑推理,几乎在数学学习和探索中无处不在,处处彰显着化归与转化的数学思想,而转化又通常要求等价转化,即充分性与必要性的兼备.但在很多情况下,我们在探求一个参数的取值范围时,若没有较好的切入点,如同在茫茫大海捞针一般.

事实上,题目总会有一个显性或隐性的条件可以作为解题的突破口,这时我们可以顺着这条线索,找出使问题成立的必要条件,由于必要条件得到的取值范围是必须满足的取值范围,所以我们接下来对充分性的验证只需限定在这个范围进行,这就是“必要性探路”,常见于含参数的不等式恒成立问题,这也是高考试题命制者十分青睐的题型.

探索范围大大缩小,探索有了明确的方向,而要完整地解决问题,就需“充分性搭桥”,这座桥怎样搭?可以概括为两个方法,其一是直接证明由必要性得出的取值区间(或其子区间) 恰能使问题恒成立,其二是反证,即证明不在这个区间时,都可以找到反例.

1.活跃在高考试题中的“必要性探路,充分性搭桥”的思维

1.1 显性的探路条件,直接观察代值显性的探路条件可从题目所给自变量的取值范围直接观察出来,一般是区……