广东顺德罗定邦中学

求多面体的外接球半经问题,是近年高考的热点和难点之一,已有不少文章对其进行了探究,本文从多边形的外接圆圆心、半径的确定类比到多面体的外接球球心、半径的确定,并且由球心的确定方法将各类多面体的外接球题型进行了分类.

一、补成长方体,求其对角线长即得球直径

类比矩形内接于圆,直径就是矩形的对角线.长方体内接于球,这是因为长方体的四条体对角线长相等,交于一点且互相平分,这点就是球心,体对角线就是球的直径(图1).长方体可以切割为墙角锥(共顶点的三条棱两两互相垂直(如图2),或底面是长方体的一个面的四棱锥);阳马(不共点的三条棱两两互相垂直(如图3),或有不同方向的三条两两互相垂直棱可以作为长、宽、高的三棱柱、四棱锥等);对棱体(对棱相等的四面体,如图4).

图1

图2

图3

图4

这些多面体可补成长方体,长方体8个顶点所在的球面就是这些多面体的顶点所在的球面,其外接球就是长方体的外接球,直径就长方体的体对角线.要求这些多面体的外接球直径,只要求出它们所在长方体的体对角线长即可.我们把这种方法称为补体法.

例1一个四面体的所有棱长都为四个顶点在同一球面上,求此球的表面积.

解四面体所有棱长相等,则对棱相等,可补成一个长方体,设长,宽,高为x,y,z,则x2+y2=2;x2+z2=2;y2+z2=2; 如上三式求和得,外接球直径R满足(2R)2=x2+y2+z2=3,所以S表=4πR2=3π.

二、已知某个侧面的外心及该面上的高时确定外……

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