王 晓，王怀明，祁俊峰2，李志杰，张 扬

(1.北华航天工业学院机电工程学院，廊坊 065000；2.北京卫星制造厂有限公司，北京 100020)

0 引 言

航天技术的快速发展对航天器的轻量化提出了越来越高的要求。负泊松比椭圆多孔材料作为一种轻量化材料，具有轻质、较大的能量吸收比、良好的抗凹陷能力、优异的抗断裂能力、较高的剪切强度等特点，作为航天器中的填充材料应用时不仅可大幅减轻航天器的质量，还可保证被填充零部件优良的力学性能，因此在航天领域中有着广阔的应用前景。负泊松比椭圆多孔材料具有十分复杂的结构，采用传统方法难以制备。在20世纪末出现的增材制造技术在制备复杂结构零件(材料)方面有着独特的优势，目前常采用激光选区熔化(SLM)增材制造技术来制备负泊松比多孔材料。BERTOLDIO等[1]研究表明，当二维圆孔多孔材料在受压力作用且材料孔隙率大于0.34时，材料中的相邻两圆孔将变为相互垂直的两椭圆孔，同时材料将表现出负泊松比的特性。TAYLOR等[2]对具有低孔隙率的二维相互垂直椭圆多孔材料的泊松比进行了研究，发现椭圆孔的长/短轴之比、孔隙率是影响材料泊松比的重要因素。WILLSHAW等[3]研究发现，当柔性三维圆孔多孔材料受压力作用时，其相邻两圆孔将变为相互垂直的两椭圆孔，同时材料将表现出负泊松比的特性。SHEN等[4]提出了一种柔性负泊松比多孔材料的设计方法，并指出缺陷度和相对密度是影响该材料泊松比的主要因素。REN等[5]在SHEN等研究的基础上对负泊松比多孔金属材料进行了研究，指出形状程度因子和材料体积分数(实际体积与其表观体积的比)是影响其泊松比的主要因素。

目前，有关负泊松比椭圆多孔材料的研究主要集中在设计参数对材料泊松比、弹性模量影响的定性研究方面，而鲜见设计参数与泊松比、弹性模量之间的定量研究报道。为此，作者将椭圆的长/短轴之比、椭圆的短轴半轴长和初始胞元的边长作为设计参数，提出了一种简化的负泊松比椭圆多孔材料设计方法；通过负泊松比椭圆多孔材料的几何关系建立设计参数与泊松比间的数学模型，同时通过引入Gibson-Ashby模型确定了设计参数与弹性模量间的数学模型；以航天领域内最常用的AlSi10Mg合金为基体材料，采用激光选区熔化技术制备负泊松比椭圆多孔AlSi10Mg合金，通过准静态压缩试验对该合金的泊松比数学模型进行验证，并确定弹性模量数学模型中的常数C，这对负泊松比椭圆多孔材料的设计和应用具有十分重要的意义。

1 负泊松比椭圆多孔材料的设计

SHEN等[4]和REN等[5]采用相同的方法设计负泊松比椭圆多孔材料，即用Abaqus软件中的屈服分析模块，通过屈服变形将模型上相邻两圆孔变为两长轴相互垂直的椭圆孔，从而产生负泊松比效应。该设计方法较为复杂且过程十分繁琐，因此作者在此基础上，提出了一种简化的设计方法，其主要步骤为：先确定椭圆的长/短轴之比R、椭圆的短轴半轴长b、初始胞元的边长c，然后根据已知R和b，确定椭圆的长轴半轴长a，从而确定材料中椭圆的尺寸。在边长为c的立方体的3个主方向上，拉伸切除掉3个椭圆柱，得到初始胞元，其中切除掉柱体的横截面为椭圆，其长轴半轴长为a、短轴半轴长为b，并且柱体横截面椭圆的形心与立方体表面的形心重合；由于无法直接通过阵列初始胞元得到负泊松比材料，因此在3个主方向分别排列3个初始胞元，得到一个由27个初始胞元组成的结构；将此结构中的多余部分去除，可以得到一个新的胞元，为了同初始胞加以区分，将这个新的胞元称为最终胞元；将最终胞元沿着3个主方向排列得到最终的负泊松比椭圆多孔材料。负泊松比椭圆多孔材料的具体设计过程如图1所示。

图1 负泊松比椭圆多孔材料设计过程示意Fig.1 Diagram of design process of auxetic elliptical porous material

2 材料性能与设计参数的关系

2.1 泊松比与设计参数的关系

由于在研究材料的泊松比时，只关注材料在某一平面内的轴向变形和横向变形，因此可将该材料看作是一个二维材料。研究发现，负泊松比椭圆多孔材料在受压缩时，其变形特性与旋转方形负泊松比材料的相似[4-5]。GRIMA等[6]认为在研究旋转方形负泊松比材料的泊松比和弹性模量时，可将材料中的方块用其2条对角线代替。因此，作者先将负泊松比椭圆多孔材料简化为旋转方形负泊松比材料，再用对角线代替旋转方形负泊松比材料中的方块，从而得到简化模型，最终胞元的简化模型如图2所示。假设图2中的对角线为方形横截面的细杆，其横截面的边长l为c-a-b；同一方块的2条对角线刚性连接，同时相邻方块的对角线通过铰链进行连接。当负泊松比多孔材料受轴向载荷时，相当于在简化模型中点A1、点A2、点A3、点A4同时施加2组大小相等、方向相同的力FA，如图2所示。此时，4组对角线细杆的受力条件完全相同，可知这4组对角线细杆在轴向和横向的变形情况也是完全相同的，因此只需研究其中一组对角线细杆的轴向变形和横向变形，即可得到整体的泊松比。

图2 负泊松比椭圆多孔材料的简化模型示意Fig.2 Diagram of simplified model of auxetic elliptical porous material

图3 负泊松比椭圆多孔材料的受力示意Fig.3 Force diagram of auxetic elliptical porous material

图3中点A1、点B1、点C1、点D1分别为图中虚线段的中点。将图中点A1受到的轴向力FA沿着杆A1C1方向以及垂直于杆A1C1方向进行正交分解，分别得到力F1和力F2。力F1作用在杆A1C1上，并沿着杆A1C1方向产生压缩变形；力F2在O点产生一个力矩MO，使杆A1C1和杆B1D1同时绕着O点旋转，并在轴向和横向产生相等的变形量。因此负泊松比椭圆多孔材料在受到轴向载荷时，其变形共有两部分组成：一部分是沿着杆A1C1方向产生的压缩变形；另一部分是由杆A1C1和杆B1D1同时绕着O点旋转产生的轴向和横向变形。

当F1单独作用时，材料沿着杆A1C1方向产生压缩变形，而该压缩变形可进一步分解为轴向变形和横向变形，但由于横向变形对整体变形的影响很小，可忽略不计，因此作者只研究材料沿杆A1C1方向产生的轴向变形，轴向变形量Z1的计算公式为

(1)

(2)

式中:E*为基体材料的弹性模量；Ld为图3中正方形对角线的长度；A为对角线杆的横截面积；θ为杆A1C1与水平线的夹角。

将A和θ的计算公式代入式(1)，可得：

(3)

图4 负泊松比椭圆多孔材料旋转前后的变形示意Fig.4 Diagram of deformation of auxetic elliptical porous material before and after rotation

当F2单独作用时，在点O处产生一个力矩MO，如图4所示。为使整体材料保持平衡，在杆B1D1和杆A1C1上分别产生力矩MB和MC，力矩MB和MC的合力矩与力矩MO相等。当杆A1C1和杆B1D1在力矩MO的作用下绕着O点旋转时，杆B1D1相对于水平直线、杆A1C1相对于竖直直线转过相同的角度Δθ，这使杆B1D1在水平方向投影的长度和杆A1C1在竖直方向的投影长度均减小，从而导致材料产生轴向和横向变形。其中，Δθ主要与点B1和点B2处铰链的旋转刚度kθ有关，旋转刚度的表达式为

(4)

式中：I为对角线杆的截面惯性矩。

由于杆A1C1、杆B1D1的横截面相同，I相同，因此点B1、点C1处的旋转刚度相同。

由于杆A1C1和杆B1D1所转动的角度Δθ相同，且点B1、点C1处的旋转刚度也相同，因此作用在杆A1C1、杆B1D1上的力矩MB和MC也相等。以杆B1D1为例，在MO的作用下，杆B1D1转过的角度Δθ为

(5)

此时杆B1D1在转动Δθ后的轴向变形量Z2为

Z2=Ldsinθ-Ldsin(θ-Δθ)

(6)

由于仅研究基体材料处于线弹性阶段时的泊松比，Δθ很小，因此式(6)可以简化为

Z2=LdΔθcosθ

(7)

将式(2)和式(5)代入到式(7)中，得到：

(8)

由图4可以看出，当只有F2单独作用时，材料的轴向变形量Z2与横向变形量Y相同。

综上可知，材料在受到轴向载荷时，其泊松比ν的计算公式为

(9)

式中：εy和εz分别为轴向应变和横向应变。

将式(3)和式(8)代入式(9)，得到负泊松比椭圆多孔材料泊松比与设计参数间的关系式：

ν=-1+c2[c-(R+1)b]2/

{3[c2+(R-1)2b2](R-1)2b2+

c2[c-(R+1)b]2}-1

(10)

2.2 弹性模量与设计参数的关系

GIBSON等[7]在研究开孔金属泡沫的力学性能时，指出金属泡沫的等效弹性模量是其相对密度的函数，并给出了Gibson-Ashby模型，其表达式为

(11)

式中：E为金属泡沫的弹性模量；ρ为金属泡沫的密度；ρ*为基体材料的密度；ρr为金属泡沫的相对密度；C为与材料有关的常数，需要通过试验获得。

诸多研究[8-11]都将Gibson-Ashby模型用于研究不同类型负泊松比椭圆多孔材料和点阵材料的弹性模量。负泊松比椭圆多孔材料的相对密度与其表观体积Vb和实际体积Vs的关系为

ρr=ρ/ρ*=Vs/Vb

(12)

由于初始胞元的相对密度与整体负泊松比椭圆多孔材料的相同，因此以初始胞元为例计算材料的相对密度。图5为初始胞元的形成过程，图中立方体的体积即为初始胞元的表观体积；而实际体积无法直接通过计算得到，需要通过表观体积减去图中3个相互垂直椭圆柱的体积Vt间接得到。将体积Vt拆分为2个部分分别进行计算，第一部分为2个相互垂直椭圆柱的体积V1，第二部分为竖直方向上椭圆柱的体积V2，如图6所示。

图5 初始胞元的形成过程示意Fig.5 Diagram of forming process of initial cell

图6 3个相互垂直椭圆柱拆分后的两部分示意Fig.6 Diagram of tow parts of three mutually perpendicular elliptical cylinders after splitting

通过积分得到V1和V2的表达式分别为

(13)

(14)

式(13)和式(14)中的4个积分区域分别为

D1={(x,y)|x∈(0,c),y∈(x,c)}

(15)

(16)

(17)

(18)

将V1和V2代入式(12)中，可得：

(19)

将式(15)代入式(11)中即可建立材料设计参数与弹性模量之间的数学表达式：

(20)

3 负泊松比椭圆多孔AlSi10Mg合金泊松比与弹性模量数学模型的确定

3.1 试验方法

试验材料为TLS Tecknik Spezialpulver公司通过气雾化生产的AlSi10Mg合金粉，粒径为15～53 μm。采用激光选区熔化(SLM)技术在M290工业级3D金属打印机上制备负泊松比椭圆多孔AlSi10Mg合金。根据文献[12]的研究结果，确定SLM的具体工艺参数为：激光功率200 W，扫描速度80 mm·s-1，扫描间距0.08 mm，铺粉层厚度30 μm。由于SLM设备成形卧孔的极限尺寸为2～4 mm，因此将b设定在1.01.1 mm范围内。R主要影响材料中椭圆孔的形状，R过大或者过小都会减小材料在轴向和横向的可变形范围，从而导致材料的负泊松比效应变得不显著。为保证多孔AlSi10Mg合金具有显著的负泊松比效应，将R的范围设定在1.1～1.3范围内。REN等[5]研究发现，当材料的相对密度小于0.345时，材料才会表现出负泊松比的特性。因此，根据已确定的R和b的范围，并结合式(15)，可以初步确定c的范围；同时为了保证材料中相邻的2个椭圆孔不相互重叠，将c设定在3.1～3.3 mm。为了研究b,R,C对泊松比、弹性模量的影响，将这3个设计参数作为3个因素，进行3组单因素试验,每个因素选取4个水平，通过均分法得到每组试验中每个因素的水平。为保证试样的对称性[4-5]，试样在3个主方向上分别由4个最终胞元组成。SLM成形试样的宏观形貌如图7所示。试样制备完成后进行280 ℃×2 h的退火处理，以消除其内部应力。

图7 SLM成形试样的宏观形貌Fig.7 Macromorphology of SLM formed specimen

在试样中心取16个胞元制备尺寸为20 mm×20 mm×20 mm的试样，采用Instron 5965型万能拉伸试验机在室温条件下进行压缩试验，压缩速度为2 mm·min-1，试样压溃后停止压缩。在压缩过程中记录试样的力-位移曲线，采用视频测量法测试样的泊松比，具体操作过程：用摄像机记录下试样压缩的全过程；从录下的视频中截取试样变形前和变形后的图像；用图像处理软件ImageJ测量图像中试样变形前后的高度和宽度，代入式(10)计算泊松比。

3.2 泊松比数学模型的验证

由图8可以看出，试样在弹性阶段的泊松比的试验值和计算值相吻合，相对误差在10%15%。在研究R对泊松比的影响时，将式(10)中的其他2个设计参数看作常数，对R求导，而R取值范围为1.11.3，所得导数小于0，可知试样的泊松比随着R的增加而减小。同理可以得到，试样的泊松比随着b的增加而减小，随着c的增大而增大。

图8 负泊松比椭圆多孔AlSi10Mg合金的泊松比的试验值和计算值随长/短轴之比、短轴半轴长、初始胞元边长的变化曲线Fig.8 Tested and calculated values of Poisson′s ratio of auxetic elliptical porous AlSi10Mg alloy vs major/minor axis ratio (a),semi-minor axis length (b) and initial cell edge length (c)

3.3 弹性模量数学模型的确定

由于基体材料和金属泡沫的结构不同，因此Gibson-Ashby模型的常数C也不相同。为了确定C，需要确定试样的弹性模量、基体材料的弹性模量以及相对密度。通过压缩过程中的力-位移曲线确定试样的弹性模量。研究表明，采用SLM制备得到AlSi10Mg合金的弹性模量在77～80 GPa[12]，因此基体材料的弹性模量取77 GPa。试样的相对密度可以通过式(19)计算得到。将试样的弹性模量、基体材料的弹性模量以及相对密度代入Gibson-Ashby模型中，即可得到C。计算得到C的平均值约为4.123，将其代入式(20)中得到弹性模量与设计参数的关系式为

(21)

4 结 论

(1) 负泊松比椭圆多孔材料在受到轴向载荷时，其变形主要由轴向压缩变形与由材料内部旋转引起的轴向变形和横向变形组成。

(2) 建立了负泊松比椭圆多孔材料泊松比、弹性模量与设计参数之间的数学模型，采用SLM制备得到负泊松比椭圆多孔AlSi10Mg合金的泊松比的试验值和计算值相吻合，相对误差在10%～15%；椭圆长/短轴之比、短轴半轴长与泊松比呈负相关，而初始胞元边长与泊松比呈正相关；计算得到负泊松比椭圆多孔AlSi10Mg合金弹性模量数学模型中的常数C约为4.123。