郭 晓, 陶 越

(1.桂林电子科技大学材料科学与工程学院, 广西 桂林 541004)

(2.江苏省广播电视总台, 江苏 南京 210000)

1 引言

考虑如下鞍点优化问题

其中X ⊆Rn,Y ⊆Rm是两个闭凸集合, Q(x,y) 是光滑的凸– 凹函数.该模型在图像处理,高维统计, 机器学习中有着广泛应用.注意到鞍点问题实际上可以转化为单调变分不等式问题, 那么求解单调变分不等式的数值方法[1−3]都可以用来求解问题(1.1).令v = (x,y)T,F(v) = (∇xQ(x,y),−∇yQ(x,y))T, K = X × Y, 那么寻找极小 – 极大问题 (1.1) 的鞍点(x∗,y∗) 就可以转换为如下形式的变分不等式问题

易知, v∗是上述变分不等式的解当且仅当其满足不定点方程v∗= PK(v∗−α∇F(v∗)), 其中P 是投影算子, α>0 是步长.鉴于约束集合K 的可分结构, 不动点方程可以具体写为

基于此, Bonettini 和Ruggiero 在文献[4]中提出了如下外梯度方案求解问题(1.1)

其中αk是自适应步长, 由线搜索确定.该方法中, 原始变量和对偶变量共用一个步长, 且能自适应确定, 这是该方法的优点, 不必费大量时间调参.收敛性也能在较弱的条件下证明.该方法用在全变分图像恢复问题中, 数值表现较好.

此外, 问题(1.1) 有着特殊的结构可以利用.因此, 许多高效的数值算法[5−10]提了出来.特别地, 即Q(x,y) = f(x)+ Bx,y −g(y). 当f(x) 是二次数据拟合项, g(y) 为示性函数,B 是梯度算子时, 全变分图像恢复模型可以看作是问题(1.1) 的一个特殊形式.著名的原始– 对偶混合梯度算法(PDHG) 在文献[5]中提了出来.该方法虽然数值表现良好, 但收敛性还没被确定.随后, 许多学者开始关注此类型算法.He 等学者在文献[6]中证明了如果目标函数中有一个函数是强凸的,……