冯 茜, 马晴霞, 刘安平

(中国地质大学(武汉) 数学与物理学院, 湖北 武汉 430074)

1 引言

脉冲微分方程理论的出现使得对理论物理、化学、生物技术和人口动力学等学科中的某些过程和现象的精确模拟成为可能.近年来, 由于分数阶微分方程在反常扩散、多孔介质力学、非牛顿流体力学、粘弹性力学、软物质力学、生物医学以及控制系统等领域的广泛应用,其研究越来越受到人们的关注.不论在理论还是应用中, 人们主要研究分数阶微分方程的定性性质, 研究方向众多, 如解的存在性以及带有初值条件或边界条件的分数阶微分方程解的稳定性, 其相关定性理论研究迅速发展, 并得到了一些研究成果.偏微分方程解的振动问题已有一些学者通过研究得到了一些结论[1]−[3].近年来, 分数阶微分方程的振动性问题受到广泛关注, 一些学者研究带阻尼项的分数阶微分方程的振动性[4]−[10], 并陆续有很好的研究成果发表[11]−[17].但关于脉冲分数阶微分方程的振动性研究却很少, 本篇论文借鉴现有的一些研究结果以及方法来进一步讨论脉冲分数阶偏微分方程的性质.

本文将讨论如下方程

其中 α ∈(0,1), ∆ 为拉普拉斯算子, Ω 是Rn内的有界域, ∂Ω 充分光滑,= Ω ∪ ∂Ω, N为 ∂Ω 的单位外法向量, 0

如下是本文的基本假设

(H1) a(t),p(t),ai(t) ∈ C(R+;R+), r(t) ∈ Cα(R+;R+) 且 τi≥ 0 是常数, i ∈ Ij={1,2··· ,j}; αk> −1, βk> −1.

定义1.1[18]f :R+→R, 阶数为α>0 的Riemann-Liouville 左侧分数阶积分定义如下

上式在R+是逐点定义的, Γ 是gamma 函数.

定义1.2[19]修正后的Riemann-Liouville 分数阶导数定义如下

下面给出关于α 阶修正后的Riemann-Liouville 分数阶导数的一些计算公式

及一……