凌征球, 覃思乾, 周泽文

(玉林师范学院数学与统计学院,广西 玉林 537000)

1 引言

在过去的几十年间, 非线性抛物方程解的爆破问题已经得到了很广泛的研究, 文献[1,2]有较详细的介绍.其中, 关于解爆破时间T 的研究,仍然有许多文章仅针对T 的上界, 但下界的估计却更加符合实际情况.随着Payne[3]开创性的工作以后, 这种讨论爆破时间下界估计的研究得到了许多学者的关注.需要指出的是, Li[4]在齐次Dirichlet 边界条件下讨论了方程

的爆破问题, 获得了方程的解发生爆破时爆破时间的下界估计.这里拓展文[4]的研究范围,将在Robin 边界条件

下讨论相同的问题.在这种边界条件下, 文献[4]使用的Sobolev 不等式不再可以使用.另外,由于方程中梯度项的存在, 需要克服一些困难.因此, 当方程的解发生爆破时, 通过建立合适的Sobolev 型微分不等式, 获得了爆破时间的下界估计.关于爆破时间下界估计的更多结论见文献[5–11].

2 爆破情况

设Ω ⊂R3是具有足够光滑边界∂Ω 与凸性的有界区域.考虑如下具有非线性梯度项的抛物问题

其中p,k >0,q >2 , ∆和∇表示拉普拉斯和梯度算子, T 是可能的爆破时间, (∂u/∂ν) 表示在边界向外的法向单位导数, u0(x) 满足适当紧条件的连续函数.

根据最大值原理有u ≥0.另外, 除了在某些时刻会发生爆破之外, 还假设问题存在古典正解.当解发生爆破时, 本文的目的是要确定爆破时间的下界估计.为此, 定义下面的辅助函数

利用分部积分与边界条件, 简单的计算就可以得到

下面考虑J1.由于的指数是q ……