李仲玲

（河北师范大学汇华学院 河北省石家庄市 050091）

形式概念分析是1982年由德国数学家Wille 提出的，是一种对数据进行分析以及获取知识的一种非常有效的工具，形式概念分析的其中一个重要的研究课题是形式背景的属性约简问题，这个理论已被成功地运用到许多领域，比如：模式识别、数据挖掘、信息检索等。而形式背景是由三部分组成：有限对象集合、有限属性集合、对象集合与属性集合间的关系，在实际问题中，相当一部分形式背景都会或多或少的具有若干多余的属性，这样导致其所生成的概念格结构会相对复杂很多，为了得到更加简洁的概念格，需要我们对对应的形式背景或决策形式背景中的数据进行一些必要地处理，也就是要对属性按照一定的要求进行约简，因而，我们很有必要找到有效的属性约简方法，形式背景的属性约简的讨论已经得到了一些学者的关注，并取得了很多非常好的研究成果[1-18]。另外，考虑到形式背景是信息系统的一种特殊形式，因此某些信息系统中适用的理论可以在形式背景中得到更加具体的结论。Zhang 等在[1]中提出了基于概念格的属性约简理论，并证明了属性协调集的判定方法，从而构造出了求解约简的形式概念的差别矩阵的概念；Wu 等给出了粒协调决策形式背景的基本定义，并通过对象的差别属性矩阵给出了求粒协调决策形式背景的约简方法[2]；Wang 等介绍了协调决策形式背景的属性约简的概念，讨论了这种约简的等价定义，并构造了属性约简的判定定理和差别矩阵，为计算此约简提供了有效的方法[4]；Mi 等在包含度理论和变精度粗糙集理论的基础之上，提出了不协调目标信息系统的上分布约简以及下分布约简的定义，并讨论了两种约简之间的关系[5]。以上对非决策形式背景、协调决策形式背景的约简问题讨论的比较多，而对不协调决策形式背景的约简问题讨论的相对比较少。

本文基于形式背景中对象集的粒覆盖，定义了基于包含度的另外一种对象集的覆盖，从另外一种角度研究了不协调决策形式背景的属性约简问题。提出了一种基于包含度的α 约简，给出了α 协调集的判定定理，并证明了求解α 约简的辨识矩阵法。

1 基本概念

本部分给出形式背景、决策形式背景、粒覆盖的相关定义，详细的表述可参考[2]。

定义1 形式背景S=(U,A,R)是由两个有限集合U 和A 及两个集合U 和A 之间的关系R 组成，其U={u1,u2,u3,...,un}是对象集，A={a1,a2,a3,...,am}是属性集，(xi, aj)∈R 或者xiRaj表示xi具有aj属性，假设每一个对象xi都至少具有一个属性aj。

设(U,A,R)和(U,C,Q)是两个非决策形式背景，则称(U,A,R,C,Q)是一个决策形式背景，其中U={u1,u2,u3,...,un}是有限对象集，A={a1,a2,a3,...,am}是有限条件属性集，C={c1,c2,c3,...,ck}是有限决策属性集，并且。

用*来表示(xi, aj)∈R，用空格来表示这样一个形式背景就可以用一个表格表现出来。

定义3 设S=(U,A,R,C,Q)是一个决策形式背景，如果对于满足则称决策形式背景S 是协调的，否则称决策形式背景S 为不协调的。

以下讨论均为不协调决策形式背景，且决策属性为一个属性的决策形式背景。

2 不协调决策形式背景基于协调度的α约简

定义4 设S=(U,A,R,d,Q)是一个决策形式背景，有限对象集U={x1,x2,......,xn}，对于任意定义

其中| |表示集合中元素的个数。

定义5 设S=(U,A,R,C,Q)是一个决策形式背景，对于有则称B 为α 协调集；如果属性子集B 为α 协调集，且B 的任意真子集都不是α 协调集，那么称B为α 约简集。

定理1 设S=(U,A,R,d,Q)是一个决策形式背景，若B是α 协调集当且仅当时，有

证明：首先证必要性。

表1：决策形式背景

接下来证充分性。

定义6 设S={U,A,R,C,Q}是一个决策形式背景，定义：

定理2 设S={U,A,R,d,Q}是一个不协调的决策形式背景，若B 是α 协调集当且仅当对非空集合

证明：首先证必要性。

再证充分性。

定理3 设S={U,A,R,d,Q}是一个不协调的决策形式背景，辨识公式的极小析取范式为则所有的是形式背景S 的α 约简。

证明：由极小析取范式的定义及定理2.2 易证。

例：表1 为一个决策形式背景S={U,A,R,d,Q}，其中U={x1,x2, x3,x4,x5,x6}，A={a1,a2,a3,a4}，C={d}，其中“ ”代表相应的对象不具有这个属性，“*”代表相对应的对象具有这个属性。

由定义2 容易得出

由以上计算及定义6 得：

我们有所有的约简为

3 结束语

本文从形式背景中对象集的粒覆盖出发定义了另外一种对象集的覆盖，这个覆盖基以包含度为基础，从而更深入的研究了不协调决策形式背景的属性约简问题。提出了一种新的基于包含度的α 约简，讨论了某个属性子集是α 协调集的判定定理，证明了某个属性子集为α 约简的差别矩阵法。接下来，我们将进一步研究α 约简的算法，并将结果推广到其他形式背景中。