唐金波 林丹

[摘  要] 数学核心素养是在数学的学习和探索过程中形成的，具有持久性和综合性.文章基于核心素养下的课堂实践，结合核心素养有效的形成过程，以高三一轮复习课的探究性学习为载体，具体探究了在高中数学课堂中发展学生核心素养的过程和方法.

[关键词] 数学核心素养;探究性学习;提出问题;解决问题

随着新课改的深入，课程理念提出了全面发展学生的核心素养. 《普通高中数学课程标准（2017年版）》将高中数学核心素养定义为：具有基本數学特征、适应个人终身发展的人的思维品质与关键能力，其中数学抽象、逻辑推理、直观想象、数学运算、数学建模和数据分析被确定为高中学生的六大核心素养[1]. 同时课程标准也指出：数学教学应创设合理的问题情境，引导学生主动、积极探究的学习方式，力求通过不同形式的探究性活动，让学生经历数学的再创造过程，让学生体验发现、创造的乐趣. 实践表明：数学的探究性学习是有效教学，是构建高效课堂的重要途径，它有助于发展学生的核心素养和提升数学思维品质，有助于培养学生发现问题、提出问题和解决问题的能力.

数学核心素养应该是融入日常的课堂之中的. 我们如何构建课堂的内容和形式进而有效培养学生的数学核心素养，是广大数学教师关注的焦点和核心问题. 结合上面的思考，笔者针对自己对新课标的学习和理解，加上长期从教于高三的数学教学，并进行了多次探索，颇有一些收获和感悟. 下面是笔者所执教的一节高三一轮复习课“正、余弦定理在解三角形中的应用”的部分教学实录以及启示，以期为同仁们提供参考和帮助.

■背景与意图

1. 授课背景

本课是高三一轮复习课，授课对象的学生数学基础较好，课堂氛围活跃，有较强的自主学习能力，喜欢思考问题和提出问题.

2. 设计意图

本课是以探究性学习的形式设计和实施教学内容，从不同的视角探究如何运用正弦、余弦定理解决平面图形中求值和求范围的问题. 我们的设计理念是：在问题的探究中培养学生逻辑推理、观察分析、数学运算、转化与化归的能力.

■课堂实录

1. 提出问题，引发数学探究

师：之前我们学习了在一个三角形中利用正弦、余弦定理解三角形的问题，这节课我们要探究平面几何图形中解三角形的问题. 请同学们就下面解三角形的问题展开研究，从不同的角度解决问题和提出新的问题. （投影问题）

问题：在△ABC中，AD是BC边上的中线且AD=1，若∠BAC=60°，AC=■，求AB的值.

学生开始思考、讨论.

评析：学生数学核心素养的形成依赖于数学活动经验的积累，因此教学设计中，创设合适的情境，提出富有思维深度和有探究价值的数学问题，启发学生独立思考，鼓励与他人交流，掌握知识技能的同时理解数学的本质. 知识、方法问题化，以问题来理解知识的本质，是我们有效教学的策略. 学生是课堂的主体，只有让学生充分地、有效地参与，尤其是学生的思维参与，才能有效地培养学生的数学核心素养.

2. 突出本质，开拓数学视野

师：研究近几年全国卷高考真题，我们发现解三角形问题有一部分是以多个三角形的平面几何图形为背景的. 在问题所给的几何图形中，如果我们抓住一些三角形的边角关系，就能解决问题. 同学们有哪些想法呢？

生1：在△ABC中，设AB=c，BC=a，由余弦定理可得a2=c2+（■）2-2■·ccos60°，化简得a2=c2-■c+3①. 注意到∠ADB与∠ADC互补，余弦值互为相反数，即cos∠ADB=-cos∠ADC，于是在两个小三角形中由余弦定理可得■=-■，从而a2=2c2+2②. 由①②得 c=■，因此AB=■.

师：表达得很清楚，观察到了两角互补在不同的三角形中利用余弦定理建立方程组，从而解决问题. 还有其他的方法吗？

生2：我也是通过方程组来解决的，可以把∠B（或∠C）放在两个不同的三角形中利用余弦定理求出，即cosB=■=■，化简得a2=2c2+2，接下来同生1.

师：上面两位同学都是通过建立方程组解决问题，而建立方程的方法是在不同的三角形中应用余弦定理，同时注意到两角互补、同一个角（或同一条边）可以放在不同的三角形中应用. 重新分析问题发现，已知三角形中三个独立的条件可以求值，但此问题的三个条件不在同一个三角形中，能否利用转化与化归的思想把这三个条件转化到同一个三角形中呢？

生3：如图2，构造平行四边形ABEC，由平行四边形的性质知，∠ACE=120°，AE=2，AC=■，直接在△ACE中利用余弦定理解出CE=AB. （此时教室里一片掌声）

师：你是怎么想到构造平行四边形的？

生3：我注意到AD是中线，就联想到了平行四边形. 经过一番尝试，从而将条件转化到了一个三角形中，应用余弦定理建立一个方程得到了答案.

生4：我也是利用转化的想法，由中点联想到中位线. 如图3，作AB的中位线DF，在△ADF中利用余弦定理得出答案.

师：很好，生3、生4运用模型的思想经过探究和构造，将条件转化到同一个三角形中来解决问题，体现了转化和化归的数学思想.

生5：我是利用向量求出的，由于AD是中线，则2■=■+■，两边同时平方得4=c2+3+■c……

生6：由于△ABC的一个角是已知的，我考虑通过建立平面直角坐标系的方法来研究，以下是我的解法：建立图4所示的直角坐标系，设B（c，0），由AC=■，可得C■，■，于是D■+■，■. 因为AD=1，所以■+■2+■=1，即c=■.

教室里出现了洪亮的掌声，学生感受到了数学思维的深刻，只要勇于思考就能找到简洁优美的方法，同时也感悟到了数学的美和学习数学的乐趣.

师：非常好，生5利用向量等式两边同时平方，将向量等式转化为边角的数量关系. 这一思想体现了向量在解三角形中的应用. 生6通过建立坐标系，得到了AB长度的表达式，解法非常简洁. 说明只要我们用心深入探究，就会有新的发现和新的收获.

评析：著名的数学教育家G.波利亚说过：“观察可能导致发现，观察将揭示某种规律、模式或定律.”这句话启示我们：要想学会数学，加强数学能力，就需要观察，从不同的角度去思考，发现问题，探索问题的规律性. 教师在教学中要充分发挥引领者的作用，给他们创造条件，从问题的不同角度和方法进行探究. 这是数学思维的本质，是理解知识、解决问题、发现问题的关键，也是有效落实核心素养的一种途径. 上面的探究活动，就是教师创设合适的情境帮助学生从不同的视角去理解三角形中最基本、最本质的东西. 通过从代数（方程、方程组、坐标）和几何（转化到一个三角形中）的角度，建立起求解的模型，发现解决问题的方法，点燃了数学思维的火花.

3. 类比拓展，深化探究学习

师：刚才我们已经研究了中线的问题，你能通过类比，提出并探究新的问题吗？

生7：我提出两个问题：（1）将D点改为BC边上的三等分点，其他条件不变，探究如何求AB的值;（2）将中线AD改为BC边上的高，其他条件不变，探究如何求AB的值.

生8：我将中线AD改为∠BAC的角平分线，其他条件不变，探究如何求AB的值.

评析：教师没有直接给出问题，而是引导学生通过类比提出新的问题，以培养学生发现问题、提出问题的能力.

师：对于将D点改为BC边上的三等分点的问题，我们可以仿照前面的几种解法，不难得出答案. 接下来我们先从高的问题开始探究.

生9：我研究了生7提出的第二个问题，我的解法如下：在△ABC中，设AB=c，BC=a，由余弦定理得a2=c2+（■）2-2■ccos60°，化简得a2=c2-■c+3①. 又AD是BC边上的高，由等面积法可得■AB·AC·sin60°=■BC·AD，化简得a=■c②. 由①②得？摇c=■，进而得到结果.

师：很好，利用等面积法和方程组，轻松地解决了问题，体现了条件基本的用法.

生10：我研究了生8提出的问题，如图5所示，在△ADC中，由余弦定理得DC2=1+3-2■cos30°=1，即DC=1，从而∠ACD=30°，∠ADB=60°，于是∠ABD=90°，因此AB=AD·sin∠ADB=■.

师：从给出的已知数据的角度来说，可以把问题分为求值和求取值范围. 我们知道，已知三角形中三個独立的条件可以求值，如果只已知三角形中两个独立的条件呢？请同学们通过研究，提出并探究新的问题.

生11：我提出下面两个问题：已知AD是BC边上的中线，若∠BAC=60°，AD=1，（1）求△ABC面积的最大值;（2）求△ABC周长的最大值.

评析：在教师的引导下，学生通过减少已知条件，将确定性问题转化为求最大值的问题. 而三角形中的面积和周长是联系边、角关系基本的要素，通过转化的思维创造性地提出新的问题，这些问题既合情合理，又具有深度，更重要的是在深刻理解三角形本质的基础上，充分发挥研究数学、做数学等核心素养.

师：这两个问题的提出让我们眼前一亮，自己要提出新的数学问题并不是那么难. 这两个问题是如此的简洁和深刻，体现了数学的简洁美. 本节课我们先研究三角形面积的问题，周长的问题留给大家课后探究.

生12：如图6，在△ABC中，设AB=c，BC=a，AC=b，由余弦定理得a2=b2+c2-bc①;因为cos∠ADB=-cos∠ADC，所以a2=2b2+2c2-4②. 由①②得bc=4-（b2+c2），由基本不等式知bc≤■，当且仅当“b=c”时取等号. 所以△ABC的面积S=■bcsin60°=■bc≤■，当b=c=■时△ABC的面积取最大值■.

生13：我也是利用基本不等式的方法，但是我运用了向量解法更加简洁. 我的解法是：2■=■+■，两边同时平方得4=b2+c2+bc，由基本不等式得3bc≤4，下面的步骤同生12.

师：非常精彩，刚才两位同学都是通过基本不等式来理解问题，但是从不同的角度（一个是方程组，一个是向量）来构建不等式模型，使问题得到了解决.说明我们只有掌握方法的本质，就有新的发现和收获.

生13：我还有一种处理方法，如图7，作平行四边形，则∠ABE=120°，AE=2，设∠BAE=α，∠BEA=β. 在△ABE中，由正弦定理得■=■=■=■，b=■sinα，c=■sinβ，α+β=60°. 所以S=■bcsin60°=■bc=■sinαsinβ=■sinαsin■-α=■sin2α+■-■. 因为α∈0，■，所以2α+■∈■，■，利用三角函数求出最大值.

生14：根据生13的方法，我可以得到更简单的做法. 易知△ABC的面积等于△ABE的面积，在△ABE中已知一个角和其对边，则它的外接圆是确定的，点B在劣弧AE上运动，当B在最高点时，即△ABE是顶角为120°的等腰三角形时，△ABE的面积最大为■.

同学们兴奋起来了……

生15：我受之前同学的启发，通过建立平面直角坐标系的方法来研究，以下是我的解法：建立图8所示的直角坐标系，因为AD=1，可知点D在以A为圆心、半径等于1的圆上，由圆的参数方程可设D（cosθ，sinθ），由题意得C■sinθ，2sinθ，B2cosθ-■sinθ，0，AC=■sinθ，AB=2cosθ-■sinθ，故S=■AC·ABsin60°=■sin2θ+■-■，下面的做法同生14.

此时教室里出现了掌声，同学们感觉非常的振奋，完全是在享受探究问题的乐趣.

师：这两位同学分别从不同的角度思考问题，不同解法的提出源于他们对问题的观察和对模型深刻的理解. 生13运用补形将问题转化为我们最基本的三角形模型：已知一角和对边，这是解决问题的关键. 生15通过建立直角坐标系，运用轨迹的思想将AD=1的静态问题理解为点D在圆弧上运动的轨迹，彰显了静中有动的数学理性精神.

评析：开放性的教学，引导学生发现问题和提出问题是有效落实核心素养的关键，也是提高学生对数学学习兴趣的重要途径. G.波利亚说过：“提出问题比解决问题更重要.”这句话启发我们：要想加强数学能力，就要善于思考，去发现问题、提出问题，探索问题的根源和规律. 作为教师，就是要在必要的时候对学生加以引导，放手让学生去探究，体会知识的本质.以上的探究过程，是教师创设条件，帮助学生学习数学抽象、数学运算、数学建模的过程，核心素养得到了培养.

■结语

探究性学习是指学生亲身经历提出问题和解决问题的学习过程[2]. 笔者认为，重视探究性学习是对传统数学学习认识上的一个提升，不仅有利于形成“四基”，也是提高“四能”的有效手段，还是落实“三会”（会用数学的眼光观察世界，会用数学的思维思考世界，会用数学的语言表达世界）的重要途径，更是培养数学核心素养具体实践的方法，对学生的可持续发展具有重大意义.

问题是知识的载体，问题是数学的心脏，一切思维都是从问题开始的. 教学中教师要精心设计有探究價值的问题背景供学生研究，但是很多时候教师给出的问题背景，学生往往不能很好地进行探究，所以选择合适的素材和合理的情境是探究性学习的前提[3]. 素材可来源于一些具有拓展性的、典型性的基本问题和基本结论，也可以是教材的例题、课后习题、探究思考以及一些高考题. 此时教师还应搭建研究平台，让学生充分参与思考和讨论，引导学生从不同的角度去观察和分析，让问题在学生的最近发展区内，创造机会使得学生从中发现新的问题，提出新的问题. 本课能取得比较好的效果得益于：学生比较活跃，勇于表达自己的想法，他们已经初步掌握了高中所学的知识，有了一定的数学探究意识，积累了一些数学学习经验. 采用探究性学习的方式对问题进行拓展，对学生的学习方式和能力的提高具有良好的示范.本课的探究主要分为两个方面：一是静态地求值，通过从不同的视角探究、解决问题，同时又提出新的问题;二是动态地求最大值，从不同的角度构建基本不等式、函数、轨迹等基本数学模型，彰显了动静结合的数学之美.

实践证明：教师创设有效的问题情境，有意识地培养学生探究性学习的能力，多留给学生发现问题和提出问题的机会，多让学生去表达自己的想法和见解. 长期下来，学生的数学核心素养也就得到了落实和发展. 这大概就是探究性学习的教育价值所在.

参考文献：

[1]  中华人民共和国教育部制订. 普通高中数学课程标准（2017年版）[S]. 北京：人民教育出版社，2018.

[2]  蔡欣.探究性学习的实践与感悟——以一道课本习题为例[J]. 数学通报，2018，57（05）.

[3]  董荣森. 让探究成为数学课堂的常态[J]. 数学通报，2014，53（01）.