浙江省临海市台州学院附属中学 徐 霞

学以致用是学习的最终目的，追求知识本身也在于学以致用.因此，将课本知识应用于实际生活是教育工作者课堂教学的责任.我们知道，在初中数学中，用二次函数相关知识可以解决生活中的实际问题，特别是解决一些与经济生活相关的问题，这是学以致用的具体呈现形式.在课堂上让学生对生活知识进行数学建模，构建必要的数学知识体系，这是解决实际问题的前提，只有掌握了数学知识的丰富内涵，才能将知识运用自如.如在实际生活中，可以将问题情境转换为函数关系式，可以思考这个函数是什么函数，问题情境可能隶属于什么问题，解决这类问题就是发展学生的什么核心素养.

一、从构建数学知识体系出发，夯实学生解决实际问题的基础

课堂教学是引导学生构建数学知识体系的重要环节.在实际生活中，倘若将问题情境转化为一个二次函数，那么这个问题就属于二次函数方面的问题.解决这类问题的关键是将情境转化为二次函数.从实际情境中提炼出自变量x的取值，让实际问题有意义（即定义域）.要解决二次函数的某些特定值问题，如最值问题，就必须考虑自变量x的取值范围.

例1如图1，有长为50m的渔网，一面利用池塘堤岸（池塘堤岸最大可用长度为28m），围成一个养殖鱼苗的长方形网箱.设网箱的宽为xm，面积为Sm2.

图1

（1）列出S与x的函数关系式；

（2）如果围成的养殖鱼苗的网箱面积为300m2，x是多少？

（3）能围成面积是400m2的网箱吗？请你做一个说明.

案例剖析：解决这类问题的关键是将情境转化为二次函数.这是问题（1）必须解决的.由图1可知网箱的宽为xm，则其长为（50-2x）m，则S与x的函数关系式是：S=（50-2x）x，也就是S=-2x2＋50x.

要解决问题（2），就需要从实际情境中提炼出自变量x的取值，让实际问题有意义（即定义域）.由-2x2＋50x=300，解得x1=10，x2=15.这两个值是否都符合情境呢？长方形的长必须满足0＜50-2x≤28，则11≤x＜25.由此可知，只有x2=15满足题意.

第（3）问可以这样解决：S=-2x2＋50x=-2（x2-25x）.则当x=（在11≤x＜25范围内）时，网箱面积最大，为m2，故所围成的网箱的面积不可能比m2大，得不到400m2的网箱.当然，也可以采用假设法，假设所围成的网箱的面积能是400m2，则S=-2x2＋50x=400，得出x无实数解，故假设不成立.

案例思考：通过对实际情境的剖析不难发现，利用函数知识是解决实际问题的一种有效方法.案例可以启迪学生的心智，二次函数是建立在二元一次方程的基础之上的，二次函数是对二元一次方程知识的拓展与提升，没有很好地整合二元一次方程的求解，没有因式分解作为前提，利用函数关系去解决生活中的实际问题只能是空中楼阁.因此在课堂上教会学生解决这种实际问题的过程是一个构建数学知识体系的过程，可以提升学生的数学学科素养.

二、从构建具体的数学模型出发，深化学生解决实际问题的过程

学生对生活情境的数学解读往往只停留在简单的函数关系上，课堂教学需要让他们进一步对问题数学模型化.在例1的第（3）问中，我们可以利用二次函数的最值解决实际问题.当然，在解决此类问题时，还可以恰当地把实际问题中的数据落实到平面直角坐标系中的二次函数曲线上，由抽象情境转化为具体的二次函数图像，这就是构建具体的数学模型.另一方面，在得出最值时，也要确定二次函数图像的最值是否与实际情境的最值一致.

例2一枚乒乓球在1m高的乒乓球台边缘弹起落地，已知该乒乓球在空中的运动路线为图2所示的坐标系中经过原点O的二次函数的图像，其相关数据如图2.在乒乓球的运动过程中，乒乓球弹起的最高处距地面，着地点距台柱40cm.运动员在乒乓球距地面高度为50cm以前必须用球拍击中球，否则就会判定失误.

（1）写出乒乓球运动曲线的解析式；

（2）在某次乒乓球的弹跳中，测得乒乓球在空中的运动路线是（1）中的曲线，且乒乓球距台柱的水平距离为37cm，问：此次球拍击球会不会失误？并通过计算说明理由.

图2

案例剖析：问题情境已经数学模型化，需要引导学生将抽象的模型转化为具体的函数.在题干给出的直角坐标系中，可以得出这样的信息：图像是二次函数曲线，有三点较为明确，即起点、最高点（只能确定纵点标）和着地点.

问题（1）即从二次函数曲线和明确的点出发，假设二次函数为y=ax2+bx+c，已知起点O（0，0）、最高点和着地点（10，-100），然后将起点和着地点的坐标代入函数式中，再根据最大值，可以得到两组数值：b=-5，c=0.

问题（2）属于代值计算，乒乓球距台柱的水平距离为37cm，即此处的横坐标为7，则纵坐标是y=-2×72+10×7=-28，因此，此次球拍击球不会失误.

当然，可以将y=-50代入y=-2x2+10x计算x的值，这样就将二次函数转化为一元二次方程了.

案例思考：本案例是与二次函数有关的应用情境.情境设置包括图像信息问题和以现实生活为载体的应用问题.在知识应用方面仍然和例1相似，更多的是将二次函数的图像转化为二次函数的关系式，是对数形转换这一数学学科核心素养的解读.解决问题时，可以发散思维，避重就轻.也可以利用模式建立模型，比如说，二次函数的最大值为，这没有必要再次推导.知识是融会贯通的，这就需要教师在课堂教学中完整构建知识体系，需要学生在学习过程中不断整合.

三、从课堂知识的具体应用出发，反思学生解决实际问题的过程

二次函数的基本形式，可以通过二次函数的图像、最值、对称轴等性质来体现，这是用二次函数解决实际问题的基础.作为应用数学知识，学生驾驭知识的综合应用能力还是不够火候，在这里列举两个案例，旨在让学生温故而知新，将所学知识进一步整合、应用.

另一方面，从课堂教学的角度来看，两个案例中问题由学生探究思考更合理，教师可以剖析问题情境，例1可以采用学生分组讨论的形式，例2可以让学生试着自主探究.这样就是生活情境转化为课堂练习，让课堂教学更有效.通过学生准确分析情境问题并写出二次函数关系式，就能提升学生理论联系实际的能力和分析问题的能力.倘若能够在确定自变量的取值范围和函数的最值时准确解答更复杂的问题，就达成了数量关系分析的难点突破，不但能够让学生准确应用单一的知识解决情境问题，而且能够让学生将知识整合起来自如应用.

总之，借助二次函数的关系式的性质来研究生活中的实际问题，好像有些浓墨重彩，情境颇有新意，对思维创新能力的要求很高，但是，只要在课堂上从构建数学知识体系出发，夯实学生解决实际问题的基础，只要在课堂上从构建具体的数学模型出发，深化学生解决实际问题的过程，那么，二次函数的应用问题只能是一种数学情境，一种数学知识的“中端”，可以自然而然快速突破.