江苏省南京市板桥中学 董婷婷

一、问题提出

笔者在进行八年级数学教学时，深刻感受到学生畏惧学习几何、几何学习成绩不理想等状况，究其原因，归结为几点：初中几何内容相对于初中代数内容和小学几何内容来说，更为抽象，对学生的直观想象、逻辑推理、数学抽象等能力有了更高的要求；初中生的思维能力正在由直观慢慢向抽象过渡，但抽象层次尚且较低，故部分学生觉得初中几何内容很难，无处下手，不能很好地掌握，继而失去学习信心.项武义说：“三角形是仅次于线段和直线的基本几何图形，而空间的大部分基本性质都已经在三角形的几何性质中充分体现.”所以三角形及相关知识的学习对整个几何学习都是至关重要的，如何开好这个头、打好这个基础，是一线教师需要深思的问题.笔者接到开设一节市级公开课的任务，课题便是“三角形的中位线”，于是做了以下设计与分析.

二、教材分析

“9.5三角形的中位线”是苏科版数学八年级下册第九章第五节的教学内容，是学生继学习平行线、全等三角形、平行四边形等几何知识之后学习的内容，同时为之后的中点四边形、相似三角形的学习奠定基础，其性质定理的探索和应用过程又需要运用倍长中线、旋转或平行等作图方法和转化思想，在今后的研究学习中起着画龙点睛的作用.在对比了苏科版和人教版两套教材后，发现这节课内容在位置编排、情境引入、证明思路、例题设置等方面都有很大的不同.

三、教学流程概述

教学环节（一）引出概念

问题1：三角形中有哪些重要的线段？

追问1：这些线段为什么重要？它们特殊在哪里？

追问2：请总结一下这些线段的价值.

教学组织：学生依次答出高线、中线、角平分线；三角形一边上的高线垂直于这条边，三角形一边上的中线平分这条边，三角形的角平分线平分这个内角.它们有特殊的位置和数量关系，如由中线可得两个三角形的面积相等.

追问3：三角形中还有哪些特殊的重要线段？

追问4：我们研究了定义，还需从什么方面继续研究它？

教学组织：学生上黑板再画一些自己觉得特殊的线段，并说出特殊在哪里，重要在哪里，交流后，教师在黑板上保留一条中位线，引出三角形中位线的定义，并且指出定义、性质、判定、应用是学习几何对象的一贯路径.

设计意图：让学生从自己已有的知识和经验入手，自然引出新课内容，遵循了学生的认知特点，培养学生发现和提出问题的意识，引导学生从位置与数量两方面研究几何图形.同时引导学生回忆研究几何对象的方向，学会提出问题，研究学习策略，增强学习主动性.

教学环节（二）性质探索

问题2：（1）在三角形中画出一条中位线，猜想它的性质，并用文字语言描述.

（2）结合图形写出猜想，并证明.

追问1：哪两条线段平行？

追问2：所对的线段可以怎么称呼它？

追问3：为什么叫第三边？

设计意图：促使学生出现认知与表达之间的不平衡状态，产生寻求平衡的需求，同时对性质中的“第三边”加深理解，为后续学生能够正确应用性质奠定基础.培养学生根据题意画图的能力，根据文字语言写出几何语言，进行三种语言之间的相互转化，同时让学生经历观察、猜想、操作、验证的过程，感受数学研究学习的合理性.学生独立思考五分钟，教师巡视学生作辅助线的情况，并引导学生思考在需要证明的两个结论中，哪个结论是我们比较熟悉的，哪个结论是我们不太熟悉的.

本活动中设置了几次让学生独立思考的环节，分别安排在教师的几次提示之后，根据学生独立学习的整体情况来判断介入提示的时机和深入程度，充分发挥学生的主体性，减少学生对教师的依赖，把课堂真正还给学生.

这里分享该课的一个教学片段：

图1

生：我作了BC上的中点F，连接这三个中点（如图1），这样作是想证明DE等于BF且平行于BF.

追问4：这样作辅助线是否可以得到证明呢？你觉得困难出在哪里？知道为什么不容易证明出你想要的结论吗？

生：好像证明不出来.

生：我想证明△ADE与△DBF全等，但是给的条件不够.

生：原因不知道.

师：题目中给出的大多是关于中点的条件，你再作BC的中点，相当于还是增加了中位线，条件类型单一，且你试图用中位线的性质去证明中位线的性质，自然是困难的.但是这名同学想到把DE和BC之间的关系转化为DE和BF之间的关系，这一点是非常关键的.

教师继续追问：作了BC的中点相当于将线段BC怎样了？

生：相当于把线段BC截成了相等的两段.

师：第一名同学是把BC截成了两段来解决二分之一的问题，但是并没有证明出来，这对你有没有什么启发呢？

图2

学生再思考三分钟，教师巡视学生完成情况

师：是否可以换一个方向思考这个结论呢？这个结论等价于什么呢？

生：这个结论等价于二倍的DE等于BC.

生：我们可以延长DE得到二倍的DE，让它等于BC.

师：请大家继续思考，看是否能够构造出辅助线并证明.

接着，学生发现线段的倍长关系是此次证明中相对较陌生又较困难的一个关键点，是此结论中的一个题眼，故需要遵循学生的心理特点和认知规律，循序渐进引导学生发现题眼，让知识顺其自然生成，在此基础上，教师完善并形成这个教学内容的板书思维导图，如下：

教学环节（三）新知应用

例1把一个三角形三边的中点顺次连接起来得到的新三角形，称为中点三角形，如图4，D、E、F分别是△ABC三边的中点，若BC=6，DE多长？这里有没有特殊的四边形？

设计意图：探索完性质证明方法后，从位置和数量两方面进行性质的应用，设计两个不同层次的问题，由简单到复杂、由封闭到开放，采用半开放的问题设计拓展知识面、加强三角形与四边形的转化意识，充分运用之前虽未得证成功但由学生自己探索出的辅助线作法，总结出与三角形中位线相关的基本图形.

教学环节（四）小结反思（略）

图3

四、对教学的几点启发

1.顺应错误，攫取思维之源

本节课教学的难点是如何作辅助线继而探究出三角形中位线性质证明方法，虽然在课堂上进行过“将三角形分成两部分拼成一个平行四边形”的操作过程，并且进行了多次引导启发，学生还是很难想到如何添加辅助线，部分学生利用旋转变换想出作法但不能完整地写出证明过程，同时，笔者发现不少学生在作辅助线时取了BC边的中点F，并连接DF、EF，然后陷入困境.于是笔者在课堂上及时听取并分享学生的作法，呈现并放大学生在证明过程中出现的困惑，分解剖析他的辅助线作法和意图，激发学生在证明思路上的需求，明确证明的具体目标，最后挖掘出错误解法中非常有用的价值，例如，关于辅助线的作法和转化等数学思想，适当引导学生进行变换，转为正确的思路和解法，即让学生想到“截长”不行就考虑“补短”，再由“找中点”是为了“截长”联想到“延长”可以起到“补短”的作用，继而让更多的学生获得将三角形问题转化为平行四边形问题的思路.

2.紧扣关键，敲开思维之门

初中几何教学中常常遇见这样的问题：教师尽心尽力教授，学生一听就懂、听过就忘、一做就错.这是因为初中几何定理繁多，教师又没有重视对学生审题和分解重组能力的培养，导致学生不会解题或者用更烦琐的方法，拖长了解题的时间，增加了解题的难度.所以教师要培养学生抓住“题眼”的能力，找到解决问题的突破口.正如本环节中教师引导学生去发现结论中哪些是学生熟悉、可解决的部分，哪些是不熟悉、不可解决的部分，或者所有分结论都指向的某个结论，这些往往就是本题的题眼.学生发现证明两条线段平行且相等是熟悉又好解决的，而是不熟悉的，那么此题的题眼就是这个，重点从这个开始突破.找到突破口以后，就有了思考的方向，集中火力探索所需的条件或者画出相关的辅助线，从而解决问题.

3.利用导图，明确思维脉络

波利亚在《怎样解题》中说，我们在寻找解题方法时，可以试试在题目上做些变化，如类比、特殊化、普遍化、分解和重组，其中在几何证明过程中，分解与重组能在很大程度上帮助学生分析并解决问题.故本环节教学中，教师引导学生分解条件“D、E分别是AB、AC的中点”则能得到“AD=BE，AE=EC”，接着明白要得出结论还需要找到另一条线段让它与BC平行且相等，同时需要证明DE等于这条线段的一半.引导学生画出辅助线，继而将新条件“AE=EC”和“DE=BF”重组，得到一对三角形全等，最终解决问题.这些烦琐的想法不能只停留在抽象的思维中，而需要简要而显性地暴露在学生面前，于是教会学生画思维导图显得尤为重要.思维导图又叫心智导图，能将思维形象化，是一种非常实用的表达发散性思维的图形工具.思维导图在初中几何教学中的地位举足轻重，可以说得思维导图者得几何天下.指导学生学会利用思维导图解决几何问题的策略与技巧，并有意识进行运用和训练，能较大程度地提高解题能力，提升数学思维.