重庆市璧山中学 王 伟

江苏省南京市竹山中学 黄秀旺

生长课堂就是要学生主动发现问题、提出问题、探究问题和解决问题，要达到的目的就是学生对数学的“热恋”，简单地说，对已学知识有一种“依恋”，对未知有一种“暗恋”.要实现学习者对数学自然生长，就需要在知识呈现、方法寻找、结论探索、例题引申和课堂小结上合情演绎.

最近，笔者执教人教版“24.1.3圆心角、弧、弦”一课.何谓生长课堂？生长在何处？笔者结合课前思考、课中实施和课后启迪，行之成文，与读者分享.

一、课前思考

为了上好这节课，我在思考：今天教什么？怎样调动学生？然后换位思考：我们今天应该学什么？为什么要学习这个知识？打算怎么学？由此，由“教什么、怎么教”转化为“学什么、怎么学”，把学生被动学习变为主动学习，在这样的拷问下，对本课进行细化考量：

（1）学生怎么才能想到将“圆心角、弧、弦”等不同属性的图形揉捏在一起？

（2）学生怎么能想到利用旋转方法去探究“圆心角、弧、弦”的关系？

（3）学生对“圆心角、弧、弦”的关系这一结论有多大提升的空间？

（4）学生如何才能将教材例题与教辅习题有效契合？

（5）课堂小结如何做到让学生有更多期许？

……

经过这样长时间考虑，课堂设计逐渐清晰，先将课堂实施呈现如下.

二、课中实施

1.今天你认为应该学习什么内容？

在这样的问题拷问下，我进行了如下设计.

师：圆美吗？美在哪里？

生1：美，美在具有对称性，而且有无数条对称轴；还美在旋转任意角度都不变，具有旋转不变性.

师：对于圆的对称性，我们重点研究了什么？

生2：弦，学习了垂径定理.

师：那你认为今天应该研究什么？

生3：弧.

师：什么是弧呢？

生4：圆上两点之间的部分，如弧AB（如图1）.

师：如果我们定下了弧的两个端点，弧就确定了吗？确定一条弧关键是定出什么？

生5：如果定下了弧的两个端点，那么这条弧就确定了.

师：很好，如果一条弧AB的两个端点确定了，那么还有哪些元素也确定了呢？

生6：弦AB和∠AOB.

师：请你上台画一画.（如图2）

师：∠AOB有何特点？你能给它取个名字吗？

生7：顶点在圆心，叫圆心角.

师：你认为今天我们应该研究什么内容呢？

生8：圆心角、弧、弦的关系.（点题，如图2）

图1

图2

板书，如图3所示：

图3

点评：为什么要学习圆心角、弧、弦的关系，不是教师强加的，而是自然而然的生成，学生更愿意接受，课堂气氛探究味渐浓，板书优美，富有启发性.

2.你打算如何学习？

师：等弧就是弧能够重合的两条弧，有哪些方式可以实现重合？

生9：翻折、平移和旋转.

师：你打算用哪种方式研究圆心角、弧、弦的关系呢？

生9：旋转.

动画演示（如图4）.

图4

3.你对结论有什么认知？

师：你发现了什么结论？

生9：相等的圆心角所对的弦相等，所对的弧也相等.

师：大家对这个结论有异议吗？

生10：要加上“在同圆或等圆中”，因为等弧只存在于同圆或等圆中.

师：刚才只是我们的猜想，接下要做什么？

生11：证明.

师：如何证明呢？

师：大家对这个结论还有新的发现吗？

生13：在同圆或等圆中，相等的弦所对的弧相等，所对圆心角也相等.

生14：有点问题哟，一条弦对两条弧，优弧和劣弧，我认为应该描述为在同圆或等圆中，相等的弦所对的优弧（或劣弧）相等，所对圆心角也相等.

师：同学们敢于发现问题，值得表扬，还有新的结论吗？

生15：在同圆或等圆中，相等的弧所对的弦相等，所对的圆心角也相等.

师：你们能不能综合起来呢？

生16：在同圆或等圆中，弧、弦、圆心角，如果有一组量相等，那么其余两组量也分别相等.

点评：找到什么方法或途径探究圆心角、弧、弦的关系是本课的难点，教师巧妙利用圆之美，得到旋转不变性，前后呼应，自成一体，可谓妙哉！

4.你对这个例题还可以提出哪些新的问题？

师：研究了圆心角、弧、弦的关系，接下我们该做什么？

众生：练习

师：那好，请大家翻开课本第88页.

练习1：如图5，AB、CD是⊙O的两条弦.

图5

（1）如果AB=CD，那么___________，____________.

（2）如果弧AB=弧CD，那么__________________，___________________.

（3）如果∠AOB=∠COD，那么________________，______________.

学生练习.

师：这里出现了OE⊥AB，OF⊥CD，过圆心作弦的垂线段，你能给它取一个合适的名字吗？

生17：弦心距.

练习2：在⊙O中，如果AB=CD，OE⊥AB于点E，OF⊥CD于点F，OE与OF相等吗？为什么？

师：你还能提出什么问题？

生19：在⊙O中，如果OE=OF，OE⊥AB于点E，OF⊥CD于点F，AB与CD相等吗？为什么？

师：你对今天学习的圆心角、弧、弦的关系，有什么补充呢？

生20：在同圆或等圆中，弧、弦、圆心角、弦心距，如果有一组量相等，那么其余两组量也分别相等.

师：看到OE=OF，OE⊥AB于点E，OF⊥CD于点F，你还会联想到以前学过的什么图形？

生：（齐）角平分线，我可以提出如下问题.

（1）如图6，在⊙O中，弦AB和CD相交于圆外一点P，OP平分∠APD，求证：AB=CD；

图6

图7

（2）如图7，在⊙O中，弦AB和CD相交于圆内一点P，AB=CD，求证：OP平分∠APD.

……

点评：对教材例题的合理开发，体现了教师驾驭教材的能力；学生提出问题，前后联系，打开了学习的视野，点赞！

5.你对本课还有什么新的期待？

生21：我想知道弧的长度的计算和弧的弯曲程度（弧的度数）.

生22：我发现弧确定了，弦、圆心角也确定了，但这条弧所对的顶点在圆上的角有很多个（圆周角），可以研究一下吗？

……

点评：这节课结束了，学生意犹未尽，整节课学生处于高度集中的探究中，知识呈现、知识探究、能力提升合理展示.

三、课后启迪

数学课堂生长无处不在，应该是自然的，自然得就像每一个知识点的呈现都是一场精心策划的约会，而不是“偶遇”；每一种方法的寻找都是必然，而不是偶然；每一次结论的获得都是新的起点，而不是终点；每一个例题的相遇都是玩味，而不是“魔魇”；每一次小结都有无限的期待，而不是终结.

通过本课执教和专家点评，笔者有如下启迪.

1.生长研究对象

生长课堂首先是课堂研究对象的生长，才能主动走进学生心灵.我们可以这样设问：“今天应该学什么？怎么想到的？”例如对于本课，可以有一系列问题：“垂线定理重点研究弦的问题，那么今天应该研究什么？”“当弧的两个端点确定了，哪些元素也随之确定？”“你认为今天应该学习什么？”这样让学生主动发现，深情呼唤本节课研究的内容，让学生感觉到不是偶然，而是数学知识发展的必然.

为此，教师站在整个中学数学知识系统的高度，分析已学知识与本课的联系，合情铺垫研究内容的基础，通过类比和比较，研究出对象，这既是对已学知识的合理演绎，更有对未知的期许.

2.生长研究方法

有了研究的对象，接下就是研究探究的方法，这是一节课的重、难点.我们可以这样设问：“打算怎么学？”为此，对于本课，可设计如下问题：“等弧就是弧能够重合的两条弧，有哪些方式可以实现重合？”“你打算用哪种方式研究圆心角、弧、弦的关系呢？”类比和对比已学的相关知识，诱导学生找到探究问题的途径，并梳理出本课探究的路径，将零散的知识串联成线，课堂学习便能顺利进行，这是生长课堂的核心.

3.生长获得结论

在探究的路径中初步获取结论，这并不是学习的终点，而是新的学习的起点.一方面，对结论本身需要补充和完善，我们常常可以举例说明，如生9“相等的圆心角所对的弦相等，所对的弧也相等”；另一方面则是对结论的发展，如“在同圆或等圆中，弧、弦、圆心角、弦心距，如果有一组量相等，那么其余两组量也分别相等”.

如果说举反例是对现实结论前景的研判，发展则是对未来的期待……这是生长课堂的力量.

4.生长教材例题

教材例题都是编写者精心设计的，虽然静态呈现，但教师常常可以赋予动态的设计，为此不妨这样设问：“你还能设计出什么问题？”例如，“看到OE=OF，OE⊥AB于点E，OF⊥CD于点F，你还会联想到以前学过的什么图形？”鼓励学生回顾已学知识，通过例题变式和整合，不断创新，徜徉在自己设计的问题中，那数学题不再是“魔魇”，而是“玩”数学了，实现了课堂与作业无缝整合，教材与教辅有机契合，真正实现“一花一世界，一题一课堂”.

5.生长课堂小结

课堂小结不是简单的回忆知识，好的小结更应该激发学生对今后学习的期待.例如：“我想知道弧长度的计算和弧的弯曲程度（弧的度数）.”“我发现弧确定了，弦、圆心角也确定了，但这条弧所对的顶点在圆上的角有很多个（圆周角），它们有什么性质，可以研究一下吗？”

这便是在学习中期待，在期待中学习……

数学课堂处处皆生长，生长课堂的魅力在于“不请自来”，因为在这里既有知识呈现的探究，更有知识自身的发展；既有方法的寻找，更有思维的生长；既有例题静态的遇见，更有动态的发散；既有现实的需求，更有对未来的期待.当然生长必须是自然的，合情合理的演绎，触发学生自主发现与探究，自然生长，花自芬芳.对教师来说，既要有数学情怀，站在数学内部发展的高度理解教材编写意图，把控好前后知识的联系，又要有学生情怀，站在学习者的角度准确设计好问题，铺设好学生展示的平台，让学生与数学知识的相逢变得那么自然、那么美好.F