方守文

摘  要：随着我国高等教育的快速发展和社会对高素质人才的需求，高校实行研究性教学改革的呼声日渐高涨。在高校数学课堂教学中尝试研究性教学，可以培养大学生对数学的兴趣，提高学生的数学修养和创新能力，实现高等教育的人才培养目标。基于在高校数学课堂多年的教学实践，笔者探讨了在高校数学课堂教学中如何开展研究性教学，对培养大学生创新素质有着非常重要的意义。

关键词：研究性教学  高等数学  线性代数  素质教育

中图分类号：G642.0                                文献标识码：A                        文章编号：1674-098X（2019）07（b）-0212-02

研究性教学是指教师结合课程内容与学生已有知识，通过研究性的方式提出、分析和解决问题，并在此过程中培养学生与专业所学知识相关的学习能力和创造能力，是目前高等教育所提倡的新型教学模式之一。研究性教学的最终目的是培养学生的创新能力，提升本科教育培养人才的质量。高校素质教育所强调的核心是创新能力的培养，这就使得传统的教学方式向研究性教学方式的转变成为一种必然趋势。

高校数学课程是大学各个专业的基础课，由于具有高度的抽象性和逻辑性，使得很多大学生望而生畏，从而失去了学习数学的积极性。因此，在高校数学课堂中进行研究性教学的实践是非常必要的，可以通过研究性教学来激发学生学习数学的兴趣，提高课堂教学效果，锻炼学生思考问题、分析问题和解决问题的能力。笔者根据多年高校数学课堂教学实践，来谈谈如何把研究性教学深入到高校数学课堂实践中。

1  高校数学课堂教学实践

1.1 教学中以全局观看知识点

数学是一门很严谨的学科，数学的各个方向相互渗透交叉，知识点前后紧密相关。高校数学主要有三门课程组成，高校教师要熟练每门课程的知识点，力求做到融会贯通。课堂教学中对各个知识点多作类比，善于构建多层次多维度的知识网络体系，全方位整合知识点，启发学生多动脑筋。例如，在讲解线性代数的对称矩阵时，有一个结论：一个方阵可以分解为对称矩阵和反对称矩阵的和。教学中可以对应到高等数学中类似的知识：一个函数可以分解为偶函数和奇函数的和。类似地，比如在讲解矩阵乘积的逆运算性质时，就可以提醒学生回忆矩阵乘积的转置运算性质。抓住这两个公式的共同点，就能很快让学生熟练计算。

高校素质教育的目标是培养高素质创新型人才。因此，对学生创新能力的培养，必须要深入到高校数学课堂的具体教学中。创新不是无水之源，在知识网络体系中每个知识点都承载着推动新知识的发现和形成，只有不断内化已有知识，才能派生出新的知识。新的知识点和旧的知识点有很多相似点，教师要善于发现并抓住知识点的异同点，课堂教学中多作类比，帮助学生搭建知识点间的桥梁，才能快速地让学生接受新的知识，方便理解，增强学生运用已有知识解决问题的能力，从而提高教学效果，培养学生的创新意识。

1.2 抽象概念要直观化处理

数学中概念的抽象性很高，使得初学者不易理解，因此借助于几何背景去认清概念就非常有必要。笛卡尔说：“没有什么东西比几何图形更容易引人脑际了，因此用这种方法来表达事物是非常有意义的。”高等数学里很多概念都提到它的几何意义，教学中教师应该都会注意到。但是线性代数的教材里很少提到几何意义，教学中不去说明，学生就很难把握，比如：向量的线性相关。教学中，可以从向量的个数和空间维数去讲解。首先从两个向量α和β的线性相关入手，就是，k1，k2不全为零，等价变形后，不妨设k1≠0，即。根据向量的数乘定义，即这两个向量α和β对应分量成比例，几何上叫共线或者平行关系。接着看三个向量α，β和γ的线性相关，，k1，k2，k3不全为零，不妨设k1≠0，即。根据向量加法平行四边形法则，几何上这三个向量就是共面关系。最后，让学生采用同样分析方法去思考四个向量的线性相关，几何上怎么解释？可以提示：应该也是共一个东西。学生根据几何直观，就很自然的去联想到线、面的下个应该是什么，从空间维数去看，线是一维直线，面指的是二维平面，那么下一个应该是三维空间。所以，得到结论四个向量线性相关几何上是共体。这样如此类推，自然对向量线性相关的概念理解就更加深刻。再有对线性方程组解结构的讲解，几何上可以对应到空间解析几何中平面或直线。齐次线性方程组的解构成向量空间，对应的就是空间中经过原点的平面或直线，非齐次线性方程组的通解是一个特解加上相对应的齐次线性方程组的通解，几何上看就是把经过原点的平面或直线平行移动一个特解后变成不经过原点的平面或直线。有了这种直观认识后，对解的结构定理记起来就更加自然，不需要去死记硬背。

在高校数学课堂教学中，要始终贯彻抽象概念的直观化处理，这种教学方法有助于学习者记忆理解，从而提高学生对数学的兴趣，使得课堂教学更生动，更具有吸引力。

1.3 分析问题要追本溯源

高校数学课程里对每个知识点的介绍，都会给出相应地例题，通过例题让学生熟悉新的知识点，更好地加深概念的理解，从而提高学生分析和解决问题的能力。教学中要把课堂例题分析讲解到位是每位教师必备的教学基本功，这点需要不断地教学实践和反思。下面给一个例子来说明。

例如：已知三阶矩阵A的特征值为1、2和3，设，问B能否相似对角化？

分析：矩阵相似对角化的充分必要条件是矩阵有n个线性无关的特征向量。而题中条件只给出了特征值，所以要从特征值的角度来判断对角化，这就要注意到矩阵相似对角化的一个充分条件是矩阵有不同的特征值。在这个思路下，我们可以先根据特征值性质计算出B的特征值分别为-1、3和19，因此，B可以相似于对角矩阵。

如果仅从上面的分析给出求解过程，这个例题就结束，這样是远远不够的。其实上面的分析只能解决这个例题，并没有抓住问题的核心。我们可以给学生去思考：如果换成，能不能相似对角化？这样再用上面的分析，B的特征值分别为0、0和2，因此，仅从特征值就不好回答了。其实B还是能对角化，只要B是A的多项式，因为这个例题的本质是A能相似对角化，而相似矩阵的多项式也相似。这样结合相似对角化的条件和相似性质去分析，使例题的本质突显出来。

华罗庚先生指出：“取法乎上得其中，取法乎中得其下”。教学中不能仅仅根据一点分析问题，要多方位多角度去延伸，横向和纵向都要兼顾到，要有高屋建瓴的认知能力，揭示问题的本质，把握问题的源与流。只有这样，才能更好地启发学生思考，做到举一反三，有助于提升本科生的创新意识，开拓本科生的数学视野。

2  结语

高校数学课堂教学改革和创新是高等教育一个重要的研究课题。研究性教学方式是目前高校数学课堂教学的改革方向，这也需要广大高校数学教师不断地在教学实践中进行完善。大学数学教师不能停留在为教学而教学的初级层面上，要在教学实践中深入研究性教学尝试，提高大学数学课堂教学效果，培养大学生的数学思维能力和创新意识，为国家多培养高素质创新型人才。

参考文献

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