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聚焦解题反思,提升解题能力

2019-12-02肖文芳

数学教学通讯·初中版 2019年10期
关键词:反思方法

肖文芳

[摘  要] 教师在解题教学中,应积极引导学生在反思中学会理智地分析問题,在反思中学会互相合作,在反思中学会享受学习的快乐.文章提出了三种提高学生解题能力的反思途径:方法反思、多解反思与错解反思.

[关键词] 方法;多解;错解;反思

在每次考试后,经常听到教师这样抱怨:“这道题,我已经在课上讲了n遍了,可还是好多学生没有解对,不知道他们是怎么学的!”也常听见学生这样埋怨:“这种题在考试前我都做过,怎么到了考试的时候还是做不对!我开始怀疑世界了. ”走进课堂,不难发现,在许多时候,教师只是反反复复将例题讲一题是一题,解后不加以总结,也不善于引导学生进行及时反思,于是,学生的思维永远停留在低水平的层次,只会模仿,不会创新,导致听得懂却不会做的结果. 数学教育家弗赖登塔尔就指出:反思是数学活动的核心和动力. 那么,教师在解题教学中该如何引导学生反思呢?

方法反思,激发兴趣

数学解题,并不仅仅是知识与技能的交汇,也是学生整个身心和情感投入的过程. 在这个过程中,学生既品尝了失败的苦涩,又收获了成功以后的满足感,无论是独立思考,还是互相合作完成,都是个人智慧与集体力量的反映. 在这个有利时机,引导学生反思,能唤起学生的学习热情,点燃他们的智慧火花,让他们感受到学习其实是一件既快乐又十分有趣的事情,从而催生其主动学习的积极性,并进一步形成良好的思维品质.

比如,正方体的展开图有多种形式,仔细算来有十一种. 那么在不将展开图还原成正方体的情况下,在图形中能快速找到相互重合的顶点吗?教师引导学生思考象棋中“马走日”的方法,即从正方体展开图的某一顶点出发,按照“马”在象棋中走“日”字的方法,连续走两步,终点与始点便是该展开图还原成正方体时的重合顶点(文中的虚线箭头一律代表“马”行走的路线和方向),这种新奇的方法往往能引起学生的兴致.

如图1、图2,“马”从点A出发,连续走两步到达点B,则点B与点A是该展开图还原成正方体时的重合顶点.

如图3,“马”从点A出发,连续走两步到达点B,再从点B出发,连续走两步到达点C,则点B,C与点A是该展开图还原成正方体时的重合顶点.

如图4,“马”从点A出发,连续走两步到达点B或点C,则点B,C与点A是该展开图还原成正方体时的重合顶点.

例1  图5是一个正方体纸盒的展开图,当把几何体还原后,与点1重合的点是(      )

A. 4,9          B. 8,11

C. 11,3        D. 9,3

分析  依据“马”的“运动规则”,可知:从点1出发,连续走两步到达点3或点11,那么点3、点11与点1是该展开图还原折成纸盒时的重合点,本题选C.

对于某些题目,或许学生暂时不会处理,但只要他们有解决问题的欲望,这时教师恰当引导,不断反思,往往能使学生拨开迷雾,看清“庐山真面目”.

多解反思,激活思维

常言道:山不在高,有仙则名;水不在深,有龙则灵. 而笔者想说:题不在多,有反思则行. 题海战术,无法实现提高学生解题能力、发展思维的教学目标,而倡导并坚持解题后反思,才是直达成功的绿色通道. 首先要反思解题过程,从解题过程中感悟解题方法、进而总结出解题规律. 我们可以对原题进行变式,在例题的不断变化中,激活学生的思维,开拓学生的眼界.

例2  如图6所示,A,B两点的坐标分别是(2 ,0),(0,2),点P在△ABO的外接圆上,且∠AOP=45°,请计算点P的坐标.

本题来源于某地区中考真题,以圆为背景,让直角坐标系、点的坐标及特殊的三角函数“三剑客”打“组合拳”,在问题的解决中考查了基本的数学思想与方法. 本题是一道综合性较强,能力要求较高的综合题.

解答此题,教师可以先引导学生根据已知条件和题图求出PA=PB=2 . 如何求出点P的坐标,教师不妨引导学生多角度思考.

分析1  现在要计算P点坐标,其实就是计算点P到x轴与y轴的距离. 为此可作PC⊥x轴,垂足为点C,于是问题转化为求OC,PC的长(如图7).

由∠AOP=45°知OC=PC,在Rt△PCA中,利用勾股定理即可求出PC. 设OC=PC=x,则AC=2 -x. 在Rt△PCA中,由PC2+AC2=PA2,得x2+(2 -x)2=(2 )2,解得x= +1( -1不合题意,舍去),故点P的坐标为( +1, +1).

反思  思路1其实就是已知△OPA的两边PA,OA和∠AOP,求AB边上的高的问题,故只需在Rt△PCA中,由勾股定理建立方程就可以了.

分析2  因为△OPA中的三个角(∠AOP=45°,∠2=∠1=60°)都已知,且OA=2 ,所以只需求出OP长即可,故想到作AC⊥OP(如图8).

在Rt△OCA中,由∠AOP=45°,得OC= . 在Rt△ACP中,由∠2=60°,PA=2 ,得PC= . 所以PO= + ,于是不难得出点P( +1, +1).

反思  比较两种解法,有着惊人相似的一幕,它们都是在△OPA中通过作高,将斜三角形转化为直角三角形来解,即所谓的化一般为特殊,化陌生为熟悉,体现出基本的转化思想.

下面我们换个角度来分析:∠AOP=45°,除可以得到∠AOP=∠POB=45°外,你还能得出其他性质吗?于是结合所要求的结论(点P的坐标),容易想到角平分线的有关性质,从而得到PC=PD(如图9). 于是四边形DOCP是正方形,所以只需求出这个正方形的边长.

分析3  如图9,过点P分别作两坐标轴的垂线PC与PD. 因为PA=PB=2 ,∠AOP=∠POB=45°,所以△PDB≌△PCA. 所以DB=CA. 设DB=x,由DB+OB=OA-AC,得x+2=2 -x,x= -1,所以OD=x+2= +1. 故点P的坐标为( +1, +1).

反思  将3种思路做比较,不难发现思路3最简捷,这种解法抓住了问题的几何本质,直观地发现有关线段长度之间的关系,进而利用这種关系通过建立方程对问题加以解决.

从本例可以看出,一节课讲透一道题胜于一节课做十道题!反思一题,以点带面,这才是解题教学的最高境界.

错解反思,防患未然

初中学生的知识水平,思考问题的习惯与方法,对事物的认识和感受有所欠缺,出现错误不足为奇,例题教学如能以之为突破口,引导学生进行解题后的反思,则可以发现问题的“症结”所在,通过“对症下药”,往往能收到事半功倍的理想效果. 其实,习题中的错解,是反思的极好素材. 教师在解题教学中,适时引入这个“素材”,让学生对错解进行反思,可起到防患于未然的作用.

例3  已知甲、乙两艘渔船都在B港,如果甲船以每小时8海里的速度沿北偏东60°方向前进,而乙船以每小时15海里的速度向某个方向前进,两个小时后,甲船到达M岛,乙船到达P岛,已知M,P两岛相距34海里,同学们,你能计算乙船的航向吗?

错解展示  甲船航行的距离为BM=8×2=16(海里),乙船航行的距离为BP=15×2=30(海里). 因为162+302=1156,342=1156,所以BM2+BP 2=MP 2,所以△MBP为直角三角形,所以∠MBP=90°,因为甲船是沿北偏东60°方向航行的,故乙船的航向为沿着南偏东30°.

引导反思  上述错解默认乙船的航向是按南偏东某个角度航行的,但题目里没有这个条件,这是犯了“主观臆断”的错误,事实上,乙船还可北偏西航行,同样可以使得M,P两岛相距34海里.

集体纠错  甲船航行的距离为BM=8×2=16(海里),乙船航行的距离为BP=15×2=30(海里). 因为162+302=1156,342=1156,所以BM2+BP2=MP2,所以△MBP为直角三角形,所以∠MBP=90°,当乙船以南偏东方向航行时,它的航向是南偏东30°;当乙船以北偏西方向航行时,它的航向是北偏西30°.

教师每天与学生的作业打交道,发现错解,不仅要及时让学生订正,更要让他们反思,学生学会独立反思,互相反思,独立纠错,互相纠错,在独立思考和合作学习中,不断反思自己的思维行为,从而在反思中不断提升思维水平.

数学思维深刻性的培养,离不开反思这个环节. 这种反思,不是教师强加于学生的,而是学生的自觉活动,只能靠学生自己独立完成. 教师在解题教学中,应积极引导学生在反思中学会理智地分析问题,在反思中学会互相合作,在反思中学会享受学习的快乐.

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