程雅琳 廖小勇

摘 要：数学建模素养是高中數学的六大学科核心素养之一，在高中数学教学中培养学生的数学建模核心素养具有重要的理论和实践价值。本文以一个典型的房贷问题为例进行案例分析，以期揭示培养学生发现问题、分析问题、解决问题的意识，提高学生应用数学的能力和创新精神的教学设计策略。

关键词：高中数学;核心素养;数学建模;房贷问题;教学案例

我国《普通高中数学课程标准（2017年版）》（以下简称《新课标》）明确提出了数学核心素养的概念，对六大数学核心素养之一的数学建模素养培养提出了明确要求。并指出，“数学建模是对现实问题进行数学抽象，用数学语言表达问题、用数学方法构建模型解决问题的素养”[1]。

近几年，关于数学建模教学的研究引起了越来越多的学者和教师的关注和重视。朱娅梅认为，数学建模素养就是将现实问题表述为数学形式，并使用数学求解，将数学结果转译为现实结果并检验的能力[2]。周春荔认为，如果从方法论的角度来看数学建模，它就是一种数学思想方法;从数学教学的角度来看数学建模，其实它就是一种数学活动[3]。王尚志提出，数学建模的教学和评价将面临很大挑战，尤其是对基础教育中的数学建模教学与评价等问题[4]。李明振、俞平认为，许多高中数学教师缺乏和忽视对数学建模思想方法及其教学的训练与研讨[5]。牛伟强等认为，中国中小学数学建模研究以思辨研究为主，采用实验研究等实证研究方法的文献比例较小，同时较为新颖的数学建模案例研究也比较匮乏[6]。

在中学数学教学中如何更好地落实新课标要求？如何将数学建模思想融入到高中数学教学之中？具体的实施步骤有哪些？实施数学建模教学对于学生的数学兴趣和学生解决实际问题的能力起到怎样的促进作用？这些问题正是在新课程改革的背景下，中学数学教师和教育研究者亟待解决的问题。

数学建模素养的培养需要落实到具体的教学上，而富于数学思想、精心设计的教学案例对于学生建模素养的培养起着不可忽视的作用。本文正是以实际生活中的贷款买房为例，从基于课程标准提出的数学建模素养培养角度去分析，期望为高中数学建模教学案例提供一些参考。

一、关于数学建模及教学的几点认识

（一）数学建模的内涵

数学建模是把实际生活中的问题进行数学化，抽象成数学模型，通过数学知识求解，并解决问题，如果不符合实际情况需再次修改模型，直到得到符合实际的数学模型。数学建模不仅仅是一种工具，更是一种数学素养。因此，探究发展数学建模素养的教学案例具有重要意义。

数学建模的基本过程大体相同，数学数学建模问题一般与实际问题的特性、模型建立的目的相关，具体而言，主要有以下几个步骤：

1.提出假设：假设是数学建模的前提和基础，实际问题中存在众多干扰因素，建模时应抓住本质，提炼出问题，对问题简化的同时，作出一定的假设。

2.模型建立：抽象出数学问题，利用数学知识找出主要变量以及变量之间的数学关系，例如，用数字和字母表示问题当中的变量，进行数学表征，建立数学模型。

3.模型求解：利用数学方法，采用恰当的技术手段，如，计算机软件中的MATLAB、SPSS对数据进行分析计算。

4.模型检验：对模型解释的结果带到实际问题中检验，若结果符合实际问题，则认为该模型正确。若结果不符合实际问题，需要对模型进行修改，对结果再次检验，直到建立符合实际问题的数学模型。

5.模型应用：模型确立之后，需要将其应用到相关的领域当中，有助于解决实际问题的需要。

（二）数学建模教学原则

我们认为，在数学建模教学中，需遵循以下原则：

1.数学化原则：就是要注重培养学生的数学化思想和数学建模的素养，让学生感悟到数学问题是源于生活，是对现实世界的高度概括。数学化是在基于数学建模的教学过程中，让学生把数学与现实相联系，在现实与数学的世界做到切换自如。

2.活动性原则：就是要激发学生数学建模的兴趣，积极参与多样化的数学建模探究活动，在建模活动中提高数学建模素养，从而带动其他核心素养的提升。

3.创造性原则：就是要在数学建模的教学过程中，培养学生的创造性思维，提高学生的创新能力，在原有的数学知识和现实背景下，突破思维的局限性，采用一些非常规的思路解决数学建模问题，如，利用物理和化学中的知识来解决数学问题。

4.启发性原则：就是要在数学建模过程中，在恰当的时机给予学生一定的启发，合理地进行数学建模，在学生遇到困难时可以进行“旁敲侧击”，同时还要注重引导学生逐步学会自我启发，对数学建模的过程进行反思，促使养成学生独立思考问题的习惯，提高学生的自主学习能力。

二、教学案例分析

当今社会，房地产市场火爆，人人都在考虑买房。然而，多数人不可能有钱能够一次性付清房款，必须贷款买房，从而贷款买房问题也就成为我们家庭面临的许多经济决策问题之一。目前市场上不断有各种收放广告出现，人们看到这样的广告之后，急于想要知道自己是否能否有能力去买这样的房子，随之便提出了更多的问题：房子有多大;一次性付款要多少钱;银行贷款月还款多少钱等等问题。

为了分析这些热点的现实问题，我们在教学中可以引导学生把问题具体化，以便建立模型分析、解决问题。

（一）问题提出

买房要向银行借款60万元，年利率是7.2%，贷款期是25年。知道月还款额（设为常数），才能了解自己是否有能力买房。如今各大银行有两种还款方式，一种是等额本息还款法，另一种是等额本息还款法。

等额本息还款法：即把按揭贷款的本金总额和利息总额相加，然后平均分摊到还款期限的每个月当中，每个月的还款额是固定的，但每月还款额中的本金比重逐月递增、利息比重逐月递减。这种方法是目前最为普遍，也是大部分银行长期推荐的方式。

等额本金还款法：即贷款人將本金分摊到每个月内，同时付清上一交易日至本次还款日之间的利息。这种还款方式相对等额本息而言，总的利息支出较低，但是前期支付的本金和利息较多，还款负担逐月递减。等额本金还款法是一种计算非常简便，实用性很强的一种还款方式。基本算法原理是在还款期内按期等额归还贷款本金，并同时还清当期未归还的本金所产生的利息。

（二）模型建立

在引导学生进行小组讨论时，教师可以根据讨论的情况适当启发。

师：同学们，请思考一下还款的金额会受到那些因素的影响呢？银行的利率在实际生活中是会发生变化的，为了方便同学们计算，此时我们假设银行利率不变。

模型一：等额本息还款法

首先我们用等额本息还款方式计算一个月还款数额：

设A0（=60万元）为向银行的贷款额，R0（=0.072）为年利率， R（=0.006）为月利率，N表示第N个月（时间变量），AN表示第 N个月欠银行的款，x表示25年（=300月）还清本息每月应还的钱。

这里要求的是x，因而将x看做因变量，A0、R看成参数，N看成自变量。此问题的数学模型如下：

A0（一开始借多少钱）;

A1=A0（1+4）-X（一个月后欠银行的钱数，即本金加利息减去每月要还的钱数）。

第N个月尚欠银行的钱数为：

AN=AN-1（1+R）-x

其中A0已知，这就是等额本息还款法问题的数学模型，在高中数列知识中属于递推关系的问题，即已知递推关系求数列的通项公式。

将AN-1，AN-2，…，A1的表达式代入，即可得

模型二：等额本金还款法

设A0（=60万元）为向银行的贷款额，R0（=0.072）为年利率， R（=0.006）为月利率，N表示第N个月（时间变量），x0表示第 n个月还款数额。

这里要求的是x0，因而将x0看成因变量，A0、R、N看成参数，n看成自变量。本问题的数学模型可以建立为：

本金分摊到每个月内的金额为  ;

上一还款日至本次还款日之间的利息为       ;

所以可得：

师：请大家思考并讨论：等额本息法和等额本金法分别是什么模型？

生：模型一是等比数列模型，模型二是等差数列模型。

（三）模型求解

模型一的求解：

当N=300时，N=300就表示还清贷款，由此可得

从而解得：x=4317.5元，这就是说每月要拿出4317.5元交付银行，累计支付利息696259.64元，累计还款总额1286259.64。

模型二的求解：

将题设中的实际数据代入得：

从而接的月还款金额为第一个月5600元，第二个月还款金额是5588元，第三个月是5576元，…，第300个月2000元。月还款金额为首项5600，公差为-12的等差数列。累计支付利息是541800元，累计还款金额是1141800元。

结论：

从两种方式来看，贷款年数相等，需要累计支付利息和还款总额等额本金还款法更占优势，银行所取得的利息更小。

（四）模型检验

在本案例当中，需要将建模中得出的结果与实际房贷中的金额进行比较，若结果相差不大，则说明此次模型的建立是正确的，若结果相差大，根据反馈对数学模型进行修改，从而完善模型。

（五）模型应用

至此，可向学生提出新的问题，引导同学们进一步思考：若王某月收入6000元，他应该办理哪种贷款？请说出理由。

三、结语

以上案例中，教师根据社会生活中的实际问题，结合数学建模设计原则和银行贷款的实际背景，介绍当下实施的两种贷款方式，引导学生讨论不同的贷款方案，将贷款过程与等比数列和等差数列的知识相结合，经过计算分析，探讨出最佳和最省钱的方案。这一教学案例不仅让学生经历调研查资料，假设、解题、检验、探讨的过程，也能够巩固复习本节课的知识、方法及思想。随着数学新课程改革的深入推进，我们希望更多同仁关注利用案例开展数学建模核心素养培养的实践教学，共同提高高中数学教育教学质量与人才培养效果。

参考文献：

[1]朱娅梅.我国八年级学生数学建模能力的调查研究[J].上海教育科研，2017，（4）：51-54.

[2]周春荔.建模与中学数学教育[J].数学教育学报，1996，（2）： 40-44.

[3]王尚志.数学建模在中国各学段的发展历程及展望[J].数学教育学报，2017，26（6）.