王建云　田智鲲

【摘 要】通过分析数值分析课程的特点、教学现状以及存在的问题，提出将问题驱动教学法应用到数值分析的教学实践之中，以各种实际的“问题”为导向，将抽象的数学知识具体化，用“问题”来驱动课堂教学，激发学生内在的学习动力，引导他们积极主动地参与到教学的整个过程。

【关键词】问题驱动教学法;数值分析;教学研究

中图分类号： G434 文献标识码： A 文章编号： 2095-2457（2019）29-0083-002

DOI：10.19694/j.cnki.issn2095-2457.2019.29.038

1 数值分析课程的特点和教学现状

数值分析又称为计算方法，是数学科学的一个重要分支，主要研究用计算机求解各种数学问题的数值计算方法及软件实现。不仅是信息与计算科学、数学与应用数学等专业的一门核心专业课程，而且很多工科类专业也开设了该课程。数值分析是研究各类数值问题的算法，其在流体力学、弹性力学、电磁波、飞机制造、水坝建设等领域的问题中都有广泛的应用。数值分析既有纯数学高度的抽象性、严谨的理论性和缜密的逻辑性，又具有实际应用的广泛性和数值实验的技术性，理论与实践的紧密结合是该课程的特点之一。数值分析中的很多知识内容都是为了解决实际问题而产生的，内容具有广泛的物理背景或实际应用价值是该课程的特点之二[1]。

数值分析传统教学中存在的问题主要有：第一，课程内容多，教学课时少。数值分析涉及的知识面广且跨度大，计算公式繁杂难记，然而教学通常只有40课时甚至32课时，导致部分内容得不到细致的讲解。然而很少有学生主动与老师互动交流，往往是被动学习和消极应付考试，这样易使他们产生畏难和厌学情绪，从而达不到良好的教学效果;第二，重理论，轻实践。数值分析是一门与计算机紧密相结合的数学类课程，传统的教学往往偏重讲授数值方法的原理和理论推导，而忽视了算法的应用背景、设计思想和软件实现。可以利用数学软件MATLAB进行数值实验，加深对理论知识的掌握，同时锻炼了学生解决实际问题的能力。第三，教学方法单一。长期以来我们的课堂教学偏向于“母乳喂养”方式，造成学生缺乏自己“觅食”的习惯和能力，再加上缺乏实践环节的教学，没有实验的深刻体会，就使得学生不能全面地理解和运用书中的算法[2]。第四，学生参与度不高。源于学生的自制力差，目前处在信息化时代，手机和笔记本电脑等电子可移动终端进入教室，导致学生的课堂注意力受到干扰和影响，使得他们的专注力和课堂参与度下降。

2 問题驱动教学法的适用性

问题驱动教学法是基于问题式学习提出的，以建构主义学习理论为基础的一种新兴的教学模式，是启发式教学法的延伸。该教学方法本质上体现了我国古代孔子“不愤不启，不悱不发”的教学理念，即由教师提出问题，学生积极思考，待学生处于“愤”的状态，教师才点拨启发，让学生继续思考，再待到学生进入“悱”的状态，教师再诱导，使学生“柳暗花明”[3]。主要思想是在课堂教学中结合一些关键问题，激发学生的学习兴趣，使学生带着问题去思考和探究，让他们掌握学习的主动权。问题驱动教学法的教学过程，一般可分为提出问题、分析问题、结果评价等四个环节。首先由老师提出问题，问题的设置应结合课堂所授知识点。接着以该问题为导向，引导学生分析和思考知识的内涵，激发学生运用理论知识解决实际应用问题的兴趣。然后让学生自己寻找解决问题的方法，培养学生解决实际问题的动手能力。最后老师对结果进行总结评价，经过老师的“点”，问题变不通为通，经过老师的“拨”，难点由难变不难。将问题驱动教学法应用到数值分析这样一门数学类课程的教学，旨在把隐藏在“冰冷的形式”后面的数学思想呈现出来。这时， 数学将会呈现出引人入胜的斑斓色彩[4]。

3 问题驱动教学法的实践

3.1 问题的设计

问题驱动教学法的核心和关键是问题的设计，德国数学家康托曾说过：“数学领域中，提出问题的艺术比解答问题的艺术更为重要。”但设计一个好的问题并不容易，如何提出学生感兴趣的、有意义的且富有挑战性的问题是一件比较费劲的事情。根据数值分析的内容特点以及教学目的，问题的设计原则应该遵循以下几个方面。原则之一是抽象数学的形象化。即找到抽象数学知识所对应的自然界的物质原型，任何数学问题都有其对应的物质原型（即对问题的形象化刻画与描述），数学理论和知识绝不是“凭空而降”的，问题是丰富多彩的数学科学的源泉。所以设计问题时都要注意与其本身对应的物质原型联系，追本溯源。例如在讲授插值法和多项式逼近的时候，会讲到在实际中，经常是通过实验和测量等方法，仅仅获得函数在一些离散点上的函数值，要得到函数的解析表达式是非常困难的。这时，如何利用这些已知数据得到函数解析表达式的近似形式，就变得尤为重要和具有实际意义，插值和逼近恰好可以完成这个工作，此时学生就知道了插值和逼近可以处理何种问题，然后我们再给学生展示出一个具体的实例，例如设有一个年产量50万吨的钢铁厂，现在需要统计其生产费用，由于该厂的各项数据资料部分丢失，已经无法进行统计。在这样一种情况下，统计部门收集了在人员、设备、生产能力等方面和该厂非常接近的5个钢铁厂的数据资料，如何根据已知5个钢铁厂的资料来比较准确地估计该厂的生产费用呢？可以利用拉格朗日插值，构造插值多项式来求解这样一个问题[5]。原则之二注重知识点的连贯性。当讲解新知识点的时候，先复习旧的知识点，让学生找出新旧知识点之间的一些关系和桥梁，然后过渡到新知识点的学习。通过对新旧知识点进行对比，可以发现新旧知识之间的区别和联系，从而进一步加深对新知识点的理解何掌握。例如，在讲解两点三次Hermite插值的时候，其公式的推导比较烦琐，学生不是很好理解，其实公式建立也是类似于Lagrange插值基函数的思想和原理，老师带领大家进行前后两节知识的学习对比，以旧带新。同时，告诉学生Hermite插值也可以利用前面章节里学习到的重节点牛顿插值来做，同时比较两种方法之间各自的特点和优劣势，加深对其理解和掌握。原则之三是点线面相结合。数值分析课程的一些知识点相对有点零散，就好像一颗颗散落的珍珠。通过问题驱动教学法的实施，让学生自己动手在解决相关问题的过程中，逐渐熟悉和寻找到这些珍珠，进一步将这些珍珠串成精美的项链，从而全面了解到知识结构的系统性。例如，在课程的“插值法、数值积分、常微分方程的数值求解”这三个章节内容的讲授上，可以对几个知识点进行串联和归纳。在前面讲解了多项式插值以后，那么在后面讲解数值积分的时候，告诉学生数值积分的原理就是把被积函数进行多项式插值，用多项式近似替换其他复杂的被积函数。比如梯形公式，就是将被积函数进行两点线性插值，辛普森公式就是被积函数进行抛物线插值等。在最后讲解常微分方程数值解法的时候，可以介绍其中的数值求解方法的原理，就是考虑将方程右端的积分采用什么样的数值积分公式，如果采用矩形积分公式，就是欧拉法和向后欧拉法，如果采用梯形积分公式，就是梯形法，如果采用多节点插值型求积公式，就是龙格库塔法。

3.2 问题的分析

在整个教学过程中问题的分析是学生最乐于参与的环节，也是问题驱动教学法的一个重要步骤。老师先提出相关的问题，然后引导学生对相应的问题进行分析和解决，一环紧扣一环，一层一层地向前推进，将课堂的知识重点由浅入深、由易到难、由表及里详细地进行阐述，从而形成波浪式和递进式的课堂教学结构，在这个教学实施过程中需遵循几个相关的原则。第一个原则是进行适当的抛砖引玉。老师围绕提出的问题，可以先抛出一些相关的案例，给学生充分思考的时间，而不要急于将参考答案公布。法国大文豪伏尔泰说得好“令人讨厌的艺术就是把什么都说了出来”[6]。例如，在讲解多项式插值的龙格现象时，可以先举例说明二次插值比线性插值要精确，随后提出问题“是不是多项式插值的次数越高越好呢？”。从而引发学进一步生的思考，再阐述龙格现象来进行问题的讲解和回答。第二个原则是讲究循序渐进。老师在提出一系列的问题时，要合理安排这些问题的先后次序，尤其是对内容的重点和难点，要由易到难形成一种“阶梯”状态，引导学生层层突破关卡，引领他们“拾阶而上”。例如在讲解求解线性方程组的直接法时，先提出求解二元一次线性方程组，相信学生这时候都会做，其实就是利用了高斯消去法，然后再推廣到求解一般的N阶线性方程组的高斯消去法，让学生初步认识和理解高斯消去法的基本原理，就是将方程组的系数矩阵通过初等变换化成上三角矩阵。第三个原则是要总结反馈。老师对整个实施的过程需要进行总结，并对学生的反应要及时进行反馈。美国心理学家贝蒙认为，通过评定人们的行为能改变个体的自我知觉，从而影响个体态度的改变和行为方式的变化。对学生的积极参与和主动学习要给予肯定和表扬，对在问题分析或数值实验过程中出现的错误要及时指出。

4 结语

在问题驱动教学法的实施过程中，老师是问题的提出者、课程的设计者和结果的评估者。老师在课程讲授的时候通过构建“问题链”，创设问题情景，恰当地呈现问题，激发学生内在的学习动力，引导他们由“知”内化为“识”，并付诸于“行”，让他们积极主动地参与教学。使得学生在分析和解决问题的过程中，充分理解、吸收和掌握抽象的理论知识，锻炼他们的实践动手能力和科研创新能力，进一步提高课堂的教学效果。

【参考文献】

[1]何满喜.数值分析课程教学的几点体会及研究[J].中国大学教学，2011（3）：54-56.

[2]杜廷松.关于《数值分析》课程教学改革研究的综述和思考[J].大学数学，2007，23（2）：8-15.

[3]聂存云，陈晓玲，杨继明，颜卫人.问题驱动式教学法在数值分析课程教学中的应用与研究—以插值法为例[J].湖南工程学院学报（社会科学版），2016，26（2）：100-104.

[4]张奠宙，张荫南.新概念：用问题驱动的数学教学[J].高等数学研究，2004，7（3）：8-10.

[5]王建云，田智鲲，张发明，赵育林.数学建模思想融入数值分析课程的改革与实践[J].当代教育理论与实践，2018，10（6）：50-53.

[6]滕吉红，黄晓英，袁博.问题驱动式教学模式在高等数学教学中的探索[J].高等教育研究学报，2012，35（4）：89-90.