浙江省三门县三门初级中学 丁坚锋

在中考前的一段时间，毕业班的教师忙着选题、做题、研题，不亦乐乎.其间，有几位教师与我交流了一道题的解法，得知这道题的得分率很低，这引起了笔者对这道题一探究竟的兴趣.

一、试题呈现

图1

图2

二、解法探究

1.代数法：借助函数模型，关联方程知识

求最值是函数问题中最常见的一类问题，从几何图形中找出数量关系，建立一个函数模型去求BD的最大值，便成了很自然的想法，于是笔者进行了尝试.

分析：如图2，分别作AE⊥BC 于点E，DF⊥BC 交BC 的延长线于点F.

设AE=a，DF=b.

由BE2+AE2=AB2，得，化简得a2+b2=

由BD2=（BC+CF）2+DF2，得（a+b）+1.此时，只需求出a+b的最大值即可.

图3

不妨设a+b=m，消去a（消去b也行），得a=m-b.代入中，得m2+2=0.由Δ≥0，得0.画出y=的图像，如图3，计算出图像与横轴的交点的坐标，结合图像可知，m的最大值为，此时.至此，问题得到解决.

反思：此法通过数形结合，将几何问题转化为代数问题，借助函数性质去求最大值，这一过程对学生分析图形中的数量关系提出了较高的要求.同时，需要有较强的综合运用知识的能力，才能顺利解决问题.学生较少接触含两个字母的二次式，对他们而言，首先想到的是解方程，而不会考虑用根的判别式.学生不易理解看成关于b的方程和关于m的方程的区别，如果从解方程的角度来看，这两者是一样的，因为根的表达式是方程的另一种表现形式.我们知道，当m变化时，会影响到b是否有实数根，所以，把方程看成关于b的方程，从方程有解还是无解方面去考虑，利用根的……