“数字图像处理”课程中频谱概念的建立及其教学方法探讨

2019-11-07张众维杨富圣

天津城建大学学报 2019年5期

赵洁，张艳，张众维，杨富圣，武斌

（天津城建大学计算机与信息工程学院，天津300384）

“数字图像处理”是电子信息类专业的一门专业核心课程，同时也是计算机视觉、模式识别、视频处理与分析等学科方向重要的基础课程之一.本课程是借助计算机对数字图像进行去噪、增强、复原、分割、特征提取等处理的方法和技术，是一门多学科交叉的理论性、实践性和工程性都很强的综合性课程.先修课程包括“信号与系统”、“数字信号处理”、“通信原理”等专业基础课.信号的频谱分析作为这些先修课程中的核心内容，是分析处理数字信号的基本手段，在信息与通信工程学科中占有举足轻重的地位[1].

作为频域滤波中最重要的概念，频谱是信号与系统课程中逐步建立起来的概念，但在教学实践中发现，很多学生对于频谱的理解比较肤浅，导致在数字图像处理课程的学习中遇到诸多困难[2].频谱的概念之所以难以讲授和理解，是因为一方面这个概念相对比较抽象，计算公式比较复杂；更重要的是因为人们长期以来已经习惯以时间作为参照来观察动态世界的时域分析方法，对于将信号描述为随时间变化的函数容易接受，而不能深刻理解信号的本质属性也可以用频谱来描述[3-4].

基于上述原因，在“数字图像处理”的教学中应该注重频域变换与分析的讲解，在复习先修课程相关内容的基础上，重点讲授二维频谱与图像内容的对应关系，使学生能够尽快建立起二维图像信号的频谱概念，同时达到深化一维信号频谱理解的目的.通过多年的教学实践，对于图像频谱概念及频域分析的相关内容本文提出一套行之有效的教学方法，主要从以下4 个步骤开展教学.

1 从一维傅里叶变换引出二维傅里叶变换

离散傅里叶变换是数字信号频域分析的基础.类似于透明光学棱镜，傅里叶变换可以看作是“数学的棱镜”，将一个函数分解成不同的频率成分.通过傅里叶变换将信号从时域、空域转换到频域.频谱是信号在频域中的表示，包括不同频率成分对应的振幅和相位.教学中首先要帮助学生回忆信号与系统中一维信号的频谱概念，然后从二维连续函数的傅里叶变换的定义出发，以分析具有纯频率的正弦函数f（x，y）=sin[2π（u0x+v0y）]为例，通过信号可视化的方式对空间频率进行直观解释，向学生讲清楚图像空域中x 和y方向分别对应在频域中用频率u 和v 表示，且该正弦函数的频率只在（u0，v0）和对称位置（-u0，-v0）存在非零值[5].同时，重点强调以下几点：①频域中频域系数实际上反映的是空域图像与不同频率的正弦分量ej2π(ux+vy)的相关性，由频率系数的模值可以看出图像中相应频率分量的能量.②频率系数的模值越大，表明图像中相应频率分量的灰度变化越多.③频率系数的相位反映不同频率正弦分量的相移.

通过上述实例的讲解，学生对于二维信号频域中由两个正交频率轴u 和v 构成的频域平面有了初步的认识.由于数字图像是离散的二维矩阵，因此接下来重点回忆一维离散函数傅里叶变换的特点进而引出二维离散傅里叶变换.教学中重点强调以下几点：①一维离散函数的傅里叶变换是周期为1 的复值、连续函数，u 为连续频率变量，频率范围只在频率区间[-1/2，1/2）或等价的[0，1）上.②由于离散函数的傅里叶变换具有连续谱，因此需要对其采样而获得离散谱，进而引出离散傅里叶变换.

2 以二维信号频谱的特点为教学重点

为了让学生更好地理解二维信号频谱的特点，教学中首先回忆一维矩形窗函数的频谱特点，进而引入二维矩形函数的傅里叶变换.然后，以二维矩形图像的傅里叶变换为实例，如图1 所示[5]，重点分析灰度级剖面分别对应窄脉冲和宽脉冲时，傅里叶谱中零点间隔距离的变化规律，使学生深刻理解空域脉冲与频域频率之间的关系.

图1 二维矩形图像的傅里叶变换

二维信号频谱的特点是教学的重点.频谱的低频成分取决于图像中灰度的总体分布，而高频成分取决于图像中的边缘和细节.同时，图像具有很强的空域相关性，即相邻像素一般具有相同或相近的灰度值，反映在频域中就是图像的能量主要集中在低频成分.教学实践中以二维离散傅里叶变换的共轭对称性和周期性为重点，深入剖析二维信号的频谱分布与统计特性，如图2 所示.

图2 二维离散傅里叶变换的共轭对称性和周期性

由于一幅数字图像必然是实函数，因此它的傅里叶变换具有共轭对称性，可表示为：F（u，v）=F*（-u，-v），并且可以得到它的傅里叶谱是关于原点对称的，可表示为：|F（u，v）|=|F*（-u，-v）|=|F（-u，-v）|.图2 代表了二维离散傅里叶变换后由正交频率分量u 和v 组成的频率平面，由共轭对称性可知，双箭头指向的区域是共轭对称的.由周期性可知，S1和S1′、S2和S2′、S3和S3′区域的傅里叶系数相等.阴影区域中的4 个小正方形区域表示所在位置的傅里叶系数为实数，其中（0，0）位置表示直流成分，即图像中的像素灰度值之和.

一幅图像频谱中的低频成分反映在傅里叶谱的4个角部分，并且由于图像的能量主要集中在低频成分，因此4 个角部分的幅度较大.在教学中，不仅要针对图2 进行深入讲解，同时要让学生深刻理解为什么要进行频谱中心化.频谱中心化是将频谱的中心从原点移动到二维离散傅里叶变换的频率矩形M×N 的中心（M/2，N/2）.这样做的目的是便于观察频谱分布，同时便于进行频域滤波等频域处理与分析.图3 给出了二维离散傅里叶谱的频率成分分布情况.频谱中心化后，频谱图的中央部分是低频成分，而向外是高频成分，即中央部分的幅度大，而向4 个角方向幅度衰减.

图3 二维离散傅里叶谱的频率成分分布

3 以频谱与图像内容的对应关系为教学难点

讲授二维信号的频域变换不仅是后续章节进行图像频域增强的需要，更重要的是使学生深刻理解二维信号频谱与图像内容的对应关系.总的来说，频谱中的低频成分对应图像中灰度平坦或灰度变化缓慢的区域；而高频成分对应图像中灰度突变或灰度变化剧烈的区域，主要表现为图像中的边缘、纹理、细节、噪声.

由于这部分内容不太容易理解，教学实践中采用多个代表性实例重点剖析.

图4 给出了一个图像傅里叶谱的实例[6].教学中重点讲解傅里叶谱中沿着约45°和130°的两条亮纹是由于原图中沿着这两个方向存在灰度值跃变而引起的高频成分.通过多个傅里叶谱典型实例的讲解，使学生能从傅里叶谱中读出对应图像内容的特点，比如灰度较平坦图像的能量主要集中在低频成分，而细节比较丰富图像的能量分布范围较大，表现为傅里叶谱图像从中央部分向外遍及到高频成分.

图4 图像的傅里叶谱实例

4 以频域图像增强为应用背景

离散傅里叶变换是频域滤波的基础，最直接的应用就是频域的图像增强.通过频谱中心化操作后，频谱图的中央部分是低频成分，外面是高频成分，这就为在频域设计滤波器带来了极大的便利[7].教学实践中，对这部分内容重点讲解频域滤波的流程，包括图像的离散傅里叶变换、频域滤波以及离散傅里叶反变换3 个基本步骤.这里要强调在第1 步前要将输入图像f（x，y）乘以（-1）x+y完成频谱中心化操作，并且在第3 步将计算得到的二维离散傅里叶反变换g（x，y）截取实部，并乘以（-1）x+y以抵消第1 步的移位.

频域滤波器设计部分的教学以振铃效应为主线.首先，解释什么是振铃效应以及如何会产生振铃效应.需要强调的是，滤波器冲激响应函数的主瓣决定了模糊程度，旁瓣决定了振铃效应的特性[8].然后，围绕着如何有效降低振铃效应的影响引出巴特沃斯低通滤波器和指数低通滤波器.这部分要向学生说明，在实际使用中，需要折中考虑平滑效果和振铃效应来确定巴特沃斯低通滤波器的阶数，而二阶巴特沃斯低通滤波器在图像平滑与可接受的振铃效应之间做出了较好的折中.最后，需要向学生讲清楚指数低通滤波器与巴特沃斯低通滤波器的传递函数的区别.