☉江苏省海安市城南实验中学 朱月凤

新定义考题是近年来不少地区命题热点，这类问题往往从一个定义出发，通过增设强化条件，组合成复杂的综合难题，解题时需要深入解读新定义、深刻理解新定义，并灵活运用.本文以2019年江苏南通中考新定义压轴题为例，解析思路并跟进教学建议，供研讨.

一、新定义考题及思路突破

考题：定义：点（x，y），若x、y满足x2=2y+t，y2=2x+t，且

x≠y，t为常数，则称点M为“线点”，例如：点（0，-2）和（-2，0）是“线点”.

已知：在直角坐标系xOy中，点P（m，n）.

（1）P1（3，1）和P2（-3，1）两点中，点______是“线点”.

（2）若点P是“线点”，用含t的代数式表示mn，并求t的取值范围.

（3）若点Q（n，m）是“线点”，直线PQ分别交x轴、y轴于点A、B，当|∠POQ-∠AOB|=30°时，直接写出t的值.

思路突破：（1）直接代入定义中提到的两个等式运算后可确认点P2是“线点”.

（2）提供两种思路.

思路1：由“线点”定义可得：

m2=2n+t ①，

n2=2m+t ②.

①-②，得（m+n）（m-n）=2（n-m）.因为m≠n，所以m+n=-2.

①+②，得m2+n2=2（m+n）+2t，配方得（m+n）2-2mn=2（m+n）+2t.

把m+n=-2代入，得4-2mn=-4+2t，整理得mn=4-t.

由m+n=-2，得点P（m，-m-2）.代入x2=2y+t，有m2=2（-m-2）+t，整理得t=m2+2m+4=（m+1）2+3.

当m=-1时，n=-1，这里m=n，不舍题意，舍去.

当m≠-1时，都有t＞3.

综上，t＞3.

思路2：由m+n=-2，得点P（m，-m-2）.代入x2=2y+t，有m2=2（-m-2）+t，整理成关于m的一元二次方程m2+2m+4-t=0.

由该方程有实数根，得Δ=4-4（4-t）=4t-12≥0，解得t≥3.

当t=3时，解得m=-1，此时m、n相等，故t≠3.

综上，t＞3.

思路3：由点P（m，n）是“线点”，得m2=2n+t，n2=2m+t，则m2-n2=2（n-m），m2+n2=2（n+m）+2t.又m≠n，则m+n=-2.（n+m）2-2mn=2（n+m）+2t，则4-2mn=-4+2t，则mn=-t+4.由m≠n，得（m-n）2＞0，即（n+m）2-4mn＞0，则t-3＞0，解得t＞3.则t的取值范围为：t＞3.

（3）先初步解读条件，由于点P（m，n）、Q（n，m）也为线点，所以点P、Q在直线y=-x-2上且关于直线y=x对称（如图1），结合|∠POQ-∠AOB |=90°，可 得∠POQ=60°或∠POQ=120°.

以下提供三种思路进一步分析.

图1

思路1：分两种情形讨论120°或60°的情形.

①若∠P1OQ1=120°，先求得P1O=.由点P1（m，-m-2），得m2+4+4m+m2=8，即m2+2m-2=0.即2-2m=2（-2-m）+t，解得t=6.

②若∠P2OQ2=60°，先求得P2O=.由点P2（m，-m-2），得m2+4+4m+m2=，即=0.即=2（-2-m）+t，解得t=

思路2：①若∠P2OQ2=60°，易知△P2OQ2为正三角形，可求出点又点Q2的坐标满足x2=2y+t，代入后解得t=

②若∠P1OQ1=120°，△POQ为等腰三角形，分析出点.又点Q1的坐标满足x2=2y+t，代入后解得……