吴默

[摘  要] 椭圆是高中数学研究的重要图形，也是圆锥曲线重要的组成内容. 以椭圆为背景命制的最值问题是模考和高考的常见题型，该类试题往往融合了椭圆性质、几何最值、函数方程等知识，对学生内化椭圆定义，转化最值问题有着较高的要求.文章对椭圆最值问题归类探析，总结解题策略.

[關键词] 椭圆;最值;策略;定义;不等式;函数

椭圆是学生在高中阶段所接触的最为特殊的一类图形，涉及较多的知识点，其中椭圆的最值问题十分常见，考虑到椭圆与几何、方程、函数等联系紧密，因此在求解该类问题时可以基于椭圆的联系点采取相应的解法策略.

定义出发，探究线段最值

椭圆问题一般涉及众多的几何参数，如线段长，角度或面积大小等，其中求解线段的最值最为常见，包含单线段最值和多线段最值两类型，前者可以直接设定未知数来求解，而后者需要适当地加以转化.

例1：已知椭圆C的解析式为 + =1，点A是椭圆内的一个定点，其坐标为（2，1），设椭圆的左焦点为点F，右焦点为点F′，点P是椭圆上的一个动点，试求PA+PF的最值.

思路剖析：根据椭圆的方程可知a=5，b=4，c=3，则椭圆的左、右焦点坐标分别为F（-3，0），F′（3，0），如图1所示，根据椭圆的第一定义可知：PF+PF′=10，所以PA+PF=10+PA-PF′. 分析可知，当点P为AF′的延长线与椭圆的交点时，PA-PF′会取最大值，此时PA-PF′=AF′= ，当点P为F′A的延长线与椭圆的交点时，PA-PF′会取最小值，此时PA-PF′=-AF′=- .

综上可知，PA+PF的最大值为10+ ，最小值为10- .

评注：上述在求解线段和的最值过程中，最关键的一步是采用椭圆的第一定义对问题进行转化. 此题虽然考查学生分析椭圆背景下线段和的最值，但由于其中的动点位于椭圆上，因此可以结合椭圆的定义将其转化为常见的“三点共线，求最值”问题. 椭圆的定义是圆锥曲线学习过程中需要学生重点关注的内容，充分理解概念，在解题时活用往往可以取得良好的解析效果.另外，本题的解法立意源于教材的基础内容，因此教师在教学中应多加重视，注意引导学生透析概念本质，助力学生形成概念解题的策略.

引入不等式，探究面积最值

以椭圆为背景构建几何三角形，进而分析三角形的面积最值是椭圆重要的最值问题，该类问题突破的第一步是利用几何面积模型将问题转化为对应的代数问题，第二步则是采用适当的策略来分析取得最值的情形，其中引入不等关系是最为简捷的一种方法.

例2：已知椭圆C的解析式为 + =1（a>b>0），椭圆的离心率为 ，其中短轴的一个端点到椭圆右焦点的距离为 .

（1）试求椭圆的方程;

（2）若直线l与椭圆C相交于点A和点B，已知原点O到直线l的距离为 ，试求△AOB面积的最大值.

思路剖析：（1）根据题意可求得a= ，b=1，故椭圆的方程为 +y2=1.

（2）求解△AOB的面积需要构建相应的面积模型，将△AOB视为是以AB为底边，点O为顶点的三角形，则底边上的高可表示为点O到底边的距离d= ，即S△AOB= ×AB·d= ×AB. 而直线l的斜率未知，因此存在两种情形，需要分类讨论.

①当l的斜率不存在时，此时AB⊥x轴，则AB= ，S△AOB= .

②当l的斜率存在时，设直线的方程为y=kx+m，l与椭圆C有两个交点，则Δ=27k2+3>0，联立椭圆与直线l的方程，采用设而不求的思路，可将AB2表示为3+ ，求解△AOB面积的最大值，实际上就是分析AB2的最大值. 对于代数式3+ ，可以适当变形，引入均值不等式加以分析，即AB2=3+ =3+ ≤3+ =4 （其中k≠0）. 当且仅当9k2= ，即k= ± 时等号成立，此时AB=2.

综上可知，AB的最大值为2，对应的△AOB的最大面积为 ×2× = .

评注：上述第二问求解时除了构建了几何模型，在分析面积最值时还引入了均值不等式，这是基于不等关系对代数最值的特殊反映. 需要注意的是在引入均值不等式时需要充分考虑对应参数的定义域，确保分析结果准确. 另外，最值问题的不等关系转化也是求解该类问题的常用方法，可以推广到其他同类型问题中，可拓展学生的解题思路，促进学生的思维提升.

构建函数，探究距离最值

椭圆中存在一些以椭圆为背景，研究动点到定点或定直线的距离问题，该类问题是对初中距离问题的发展，其研究的方法和思路大致相同，复杂之处在于对椭圆方程的处理. 对于椭圆中的动点距离问题可以考虑构建函数方程，结合函数性质来破解.

例3：已知椭圆C的中心位于坐标的原点，其长轴在x轴上，离心率为 .点P0， 到椭圆的最远距离为 ，试求椭圆的方程以及椭圆上到点P距离最远的点.

思路剖析：粗略来看本题目要求点的坐标，但考虑到该点为到定点P的最远距离点，因此实际上还是属于椭圆距离最值问题.

根据条件将椭圆C设为 + =1 （a>b>0），由椭圆离心率可得a=2b，则可将椭圆方程细化为 + =1 （b>0）. 设椭圆上一动点M的坐标为（x，y），则有x2=4b2-4y2，则点M到定点P的距离平方PM2=x2+y-  =-3y+  +3+4b2.其中自变量y的取值范围为[-b，b]，因此，只需要讨论y在定义域上对应的PM2的最大值即可.

分析可知存在如下两种情形：若b> ，则当y=- 时，PMmax= = ，解得b=1;若0

综上可知，当PM取得最大值 时，y=- ，则x=± ，即到点P的最远距离为 的点有两个 ，- 和- ，- .

评注：虽然是求点的坐标，但从解题过程可以看出依然需要在椭圆中构建求解最值的思路，而上述采用了圆锥曲线最常用的策略——构建函数，利用函数的性质来分析距离的最值. 对于该问题需要充分考虑椭圆中x和y的取值范围，适当地在区间上分析二次函数的最值. 函数作为高中数学最为重要的知识内容，常作为研究工具应用于解题题中，如利用函数性质分析数列问题，利用函数的值域分析临界问题等，因此开展知识迁移、拓展学生的知识视野是中学教学的重要任务.

结合定理，探究离心率最值

离心率是研究椭圆轨迹的重要参数，其数值的大小影响着椭圆的曲线，探究椭圆离心率的最值是其中较为特殊的一类问题. 在解题时学生很容易将其转化为椭圆参数问题，构建函数方程来分析，但考虑到椭圆的方程较为复杂，很容易造成求解困难. 实际上可以引入几何定理，采用整体思维来分析.

例4：假设椭圆C： + =1（a>b>0）的兩个焦点分别为F1和F2，如椭圆的曲线上存在一点P使得F1P⊥F2P，试求椭圆离心率的最小值.

思路剖析：连接PF 和PF ，设∠PF F =α，∠PF F =β，在△PF F 中使用正弦定理及其合分定理，可得：

= = = = ，所以e= = ，分析可知 ≥ ，所以椭圆离心率的最小值为 .

评注：上述分析椭圆离心率的最小值，没有采用构建常规函数的策略，而是巧妙地利用椭圆的焦点构建三角形，引入三角形的正弦定理，从而建立了三角形的边角关系，结合椭圆的定义获得了对应的变量关系. 虽然同样属于构造函数的思路，但考虑到三角函数的性质较为特殊，利用其有界性能更为简捷地分析最值问题. 三角函数在高中数学解题中有着广泛的应用，掌握三角函数的特殊性质和转化定理对于解题有着重要的帮助.

椭圆的最值问题类型很多，以上只是其中的几例，以椭圆方程和对应曲线为背景命制的最值问题能够较好地体现当下新课标的教学理念，即重视学生的知识拓展，关注学生的能力和素养提升.椭圆最值问题虽然题型多样、变化不一，但并不神秘，只需要充分理解椭圆的定理定义，掌握椭圆的衔接知识，紧扣知识联系点，采用合理的解题策略将其转化为我们所熟识的问题即可，这也是该类问题的命制价值所在. 这就要求教师在平时的教学中，不仅需要使学生掌握对应模块的知识内容，还要更好地开展知识的拓展教学，引导学生灵活运用所学知识来分析问题，注重学科思想，培养应用意识.