汪婷婷， 范虹霞

(兰州交通大学 数理学院， 甘肃 兰州 730070)

脉冲微分方程描述的是系统状态在某一时刻突发改变的过程，对其基础理论进行研究的文章已有很多，期间脉冲微分方程边值问题的研究也受到越来越多的关注[1-6]。在现有文献中，大多数学者致力于讨论脉冲微分方程正解的存在性，如文献[1]中，Feng和Xie利用锥压缩与锥拉伸不动点定理讨论了二阶脉冲微分方程m点边值问题的多个正解的存在性。而对脉冲微分方程边值问题非零解存在性的研究，却很少有学者关注。

2009年，文献[7]研究了二阶常微分方程边值问题

非零解的存在性，其中α和β是正参数。

受文献[7]的启发，本文主要研究下列二阶脉冲微分方程边值问题

(1)

本文的主要工作是讨论当参数α或β增大时，相应积分方程的核函数的符号改变情况，并结合不动点定理给出问题(1)非零解的存在性，推广了文献[7]的结果。其他有关脉冲微分方程解的研究可参见文献[8-14]。

以下列出本文要用到的假设条件：

(H1) 1+βη>β；

(H2) 1-αξ>0；

(H3) 1+βη<β；

(H4) 1-αξ<0；

(A1) 1+βη≥β；

(A2) 1-αξ≥0。

1 预备知识

设J′=J{t1,t2,…,tn}。定义空间

本文主要结果的证明要用到以下的定理和相关引理。

(ⅰ) ‖Au‖≤‖u‖，∀u∈P∩∂Ω1，‖Au‖≥‖u‖，∀u∈P∩∂Ω2；

(ⅱ) ‖Au‖≤‖u‖，∀u∈P∩∂Ω2，‖Au‖≥‖u‖，∀u∈P∩∂Ω1；

引理1 设Δ=α(1+βη)+β(1-αξ)，f∈C([0，1]×(-∞，+∞)，[0，+∞))，Ik∈C((-∞，+∞)，[0，+∞))，则u∈PC1[0，1]∩C2(J′)是问题(1)的解当且仅当u是下列脉冲积分方程

(2)

的一个解，其中

(3)

证明必要性。

设u∈PC1[0，1]∩C2(J′)是问题(1)的解，对问题(1)中的方程两端积分可得：

(4)

对上式再次积分，可以得到：

(5)

在(4)式中，令t=1，并结合边值条件易得：

(6)

在(5)式中，分别令t=ξ，t=η，并结合(6)式有：

(7)

(8)

将(7)式和(8)式代入(6)式中化简可以得到：

(9)

从而

(10)

结合(5)、(9)和(10)式化简易得：

其中

充分性。

设u(t)是脉冲积分方程(2)的解，则当t≠tk时，直……