宋春梅

摘 要：挖掘学生的有效经验，落实知识的探究过程，是有效教学的关键。抓住诱导公式与两角差的余弦公式的特殊与一般的关系，并精心设计思考问题，鼓励学生积极探索，提炼规律、探究公式来源及推导方法，体验公式的推导证明过程。

关键词：两角差的余弦公式;数学有效经验;高中数学

一、 学习内容分析

《两角差的余弦公式》是普通高中数学课程标准实验教科书（人教A版）必修④第三章第一节的内容。两角差的余弦公式是三角恒等变换的开篇公式，具有承上启下的作用。既是任意角三角函数的概念、诱导公式和向量等知识的延伸，又是后继推导两角和的余弦公式、两角差、和的正弦、正切公式、二倍角等公式的知识基础。对于三角变换、三角恒等式的证明和三角函数式的化简、求值等问题的解决有重要的支撑作用。

两角差的余弦公式的推导是本节课的重点，也是难点，教材是这样设计的：首先明确提出了探索课题：如何用任意角α、β的正弦来表示cos（α-β）呢？凭直觉得出cos（α-β）=cosα-cosβ是学生经常出现的错误，通过讨论可以知道它不是对任意角α、β都成立的，从而进一步明确“恒等”的意义，统一对探索目标的认识。联系已经学过的三角函数知识探索有关三角函数的问题是很自然的，但是学生对于独立地运用单位圆上的三角函数线进行探索存在一定困难，教科书采用“夹叙夹议”的方式，把探索的过程写进教材，意图是先引导学生在感受教科书探索的过程中，对公式结构特征进行直观感知，进而引起学生寻求适当方法推出公式的欲望，但是这个过程比较困难、复杂。从课堂教学过程和反馈来看，大部分学生在“直观感知”这一块就已经失去了兴趣，后来运用公式只是死记硬背，对公式的理解不到位，以至于对于差角公式、倍角公式等公式也不能灵活应用。虽然上面的做法是从学生已有的经验出发，但是学生对于“运用单位圆上的三角函数线”这个经验不能灵活应用，因此教师在上课前要挖掘学生的已有经验和基础，更要剖析出对本节课学习有用的有效经验和基础，根据学生的思维特征和认知规律出发，引导学生亲历数学活动，探究数学知识。

本文对于“两角差的余弦公式”这节课，从学生原有的认知水平和所需的知识特点入手，由诱导公式cos（π-β）与cos（π2-β）出发，从中找出共同点及其蕴含的规律，再采用两组向量的数量积相等的方法证明两角差的余弦公式，让学生经历猜想、证明两角差的余弦公式的过程，体会特殊与一般的数学思想方法及向量的工具性作用。

二、 教学设计

（一） 创设问题情境，引出探究内容

某城市的电视发射塔建在市郊的一座小山上，如图所示，在地面上有一点A，测得A、C两点间的距离约为40米，从A测得塔顶D的仰角为45°，从A处测得电视发射塔的视角∠CAD为30°，求AB的长。

【设计意图】：将求AB的长的问题转化为求    ，根据刚才的分析        ，这样做的好处是将非特殊角的余弦值转化为两个特殊角的差的余弦，更一般地，对于任意角α、β，它们的余弦值cos（α-β）如何表示？与α、β的三角函数值是否有关？引出本节课要探究的内容——两角差的余弦公式。

（二） 挖掘已有经验，找到公式的切入点

问题1：请同学们回顾一下前面所学知识，什么知识从形式上与cos（α-β）相像？

【设计意图】：诱导公式cos（π-β）和cos（π2-β）是两角差的余弦公式的特例，也是学生已有的知识经验，从形式上找到了切入点，给学生提出了一条探究的路线，使学生从中体会特殊到一般的数学思想，积累数学思想方法应用的经验。

合作探究1：在单位圆中探究cos（π-β）。

问题2：下图是我们当时研究诱導公式所用的图形，请同学们回顾我们证明诱导公式的关键是什么？

【设计意图】：引导学生回顾证明诱导公式的关键是利用单位圆的对称性得到π-β终边与β的终边关于y轴对称。

接下来围绕以下几点展开讨论：

问题3：请同学们观察上图中有哪些相等关系？

问题4：由上述相等关系，你还能得到哪些相等关系？

问题5：我们用模与夹角推导出OP1·OP1=OP4·OP3，向量的数量积还有其他形式吗？

问题6：求出P1点坐标，你能用任意角三角函数值表示P2，P3，P4三点的坐标？

【设计意图】：切实引领学生经历观察、归纳的过程，引导学生用坐标表示OP1·OP1=OP4·OP3，从而推导出诱导公式，并获得cos（π-β）=cosπcosβ+sinπsinβ这样的结论。学生会觉得老师用向量的方法推导出了诱导公式是“多此一举”，教师要说明就是这“多此一举”，让我们有了新的发现：

cos（π-β）=cosπcosβ+sinπsinβ

即：π与β的差的余弦值与π、β的正弦值、余弦值有关。

我们回过头来梳理刚才的思路，看看有没有新的发现？（幻灯片展示）

【设计意图】：引导学生初步感知推导方法，归纳推导思路方法，为推导cos（π2-β）=cosπ2cosβ+sinπ2sinβ提供了类比的对象。

自主探究：

请同学们仿照刚才的方法来探究cos（π2-β）

【设计意图】：学生在充分调动已有有效知识与经验的状态下，类比cos（π-β）=cosπcosβ+sinπsinβ的推导过程，推导出cos（π2-β）=cosπ2cosβ+sinπ2sinβ，在自主探究状态下经历、体验公式的推导过程，提高主动获取数学经验的能力。

（三） 观察获得结论，提出正确猜想

问题7：请同学们观察刚才获得的两个等式，有什么共同点？

cos（π-β）=cosπcosβ+sinπsinβ

cos（π2-β）=cosπ2cosβ+sinπ2sinβ

问题8：据此，请你猜想对于任意α、β，cos（α-β）如何表示？

【设计意图】：引导学生经历观察、归纳、猜想的过程，得到下面的猜想：cos（α-β）=cosαcosβ+sinαsinβ。这个过程是特殊化与一般化思维经验积累的重要机会。

（四） 证明猜想结论，发展数学思维

合作探究2：证明猜想cos（α-β）=cosαcosβ+sinαsinβ

【设计意图】：通过前面两个例子，学生可以归纳出利用两组向量的数量积相等推导出：cos（π-β）=cosπcosβ+sinπsinβ

cos（π2-β）=cosπ2cosβ+sinπ2sinβ

进而引导按照以下步骤分析：

设角α-β的终边与单位圆的交点为B

要证明cos（α-β）=cosαcosβ+sinαsinβ

只要证明OA·OB=OC·OD

要证OA·OB=OC·OD，只要证：∠AOB=∠COD

要证∠AOB=∠COD，先要找到B，即先要确定角α-β的终边。引导学生找到问题的关键是确定角α-β的终边，同时总结理顺了证明思路。

问题9：如何找到角α-β的终边？

在这个过程中，通过下面两个思考引导学生有序思考：

问题10：我们是通过什么方法将角的概念推广到任意角的？

问题11：角α-β能否通过旋转得到？

【设计意图】：引导学生发现α-β可以通过旋转得到，只要将角α旋转-β得到。

几何画板演示：α-β的形成过程。

【设计意图】：借助于几何画板直观引领学生发现将α、β的终边都旋转-β，即将∠COD旋转使得角β的终边与x轴正半轴重合即可得到角α-β的终边，并且无论怎么旋转，∠AOB=∠COD，从而证明了猜想，推导出两角差的余弦公式。

（五） 运用公式解决问题，拓展学习经验

例1：解决引入问题，用两角差的余弦公式求cos15°。

变式训练：用两角差的余弦公式求cos75°。

【设计意图】：既是对公式的直接应用，也是对引入问题的解决。

例2：已知sinα=45，α∈（π2，π），cosβ=-513，β是第三象限角，求cos（α-β）。

【设计意图】：两角差的余弦公式的应用，要考虑到三角函数的象限符号，使学生知识的综合能力应用经验得意积累。

（六） 总结探究经历，培养认知经验

通过下列问题展开小结：

1. 本节课探究了什么内容？我们是如何探究的？

2. 两角差的余弦公式可以解决什么问题？

三、 教学思考

（一） 根据有效数学经验设计数学活动

“课程论”之父认为，经验是课程编制的基本素材，教育的基本手段是提供学习经验。而教师的职责是为每个学生提供对现学知识有效的经验。有效的数学教学需要了解学生已掌握了什么和需要学习什么，并从中筛选出对所学知识有效的经验，为他们提供必要的帮助和挑战，引导学生亲自或间接奖励探究过程而获得基本数学经验，学生数学经验的积累过程是学生主动探索的过程。教学设计从学生熟悉的诱导公式出发，重新观察诱导公式，由特殊到一般，围绕学生已有的认知水平与经验展开探究活动，积累丰富的观察、操作、思考、应用、探究、猜想等经验，为学生深入地學习提供新的经验基础。本节课的整个教学过程不是将两角差的余弦公式强塞给学生，而是让学生在自己的基础上探究出两角差的余弦公式。

（二） 以生为本，开展数学探究，丰富数学经验

数学课的课程基本理念和学科特点决定了我们在教学活动中要善于挖掘学生的已有有效经验，设计自主探究和合作探究，给学生提供更多充分表达自己思想的空间，激发学生的探究意识，有利于学生养成善于思考的习惯，也有利于引发学生思维的碰撞。《两角差的余弦公式》这节课，首先通过合作探究引领学生经历观察、归纳的过程，引导学生用坐标表示OP1·OP1=OP4·OP3，获得cos（π-β）=cosπcosβ+sinπsinβ这样的结论，为后面的两个探究提供了思路，接下来通过自主探究和合作探究，尽可能地发挥学生的主动性，以实现探究的价值。

（三） 以课堂为主，注重教学过程，获得数学经验

教师作为数学课堂的实施者、组织者、引导者以及学生数学探究活动材料的提供者、活动情境的设计者，数学课程活动实施的调控者及评价者，直接影响和决定了学生基本数学经验的获得、积累和提升。因此教学设计要考虑‘引导学生提炼学习成果、总结规律，灵活运用定理、激发学生参与数学活动的兴趣，亲历探究活动全过程等方面，并让学生在层次不同、形式多样的活动中，积极参与、主动探究，才能有效获得丰富的数学经验。另外数学经验的获得是一个坚持不懈的积累过程，不能指望一两节课就能获得，我们要坚持结合学生的有效学习经历及数学经验，联系日常生活，合理创设情境，寻求思维的契合点，组织学生参与数学探究过程，注重思维建构，进行数学经验积累，达到理想的数学教育效果。

参考文献：

[1]刘晓苏.突出内涵揭示 关注知识建构[J].中国数学教育.

[2]李杰平.让课堂变得更高效[J].中学数学教学参考.