任宏宇

摘 要：当代社会，自动控制的思想已经渗透到生活的方方面面，在军事、航空、工业、农业和手工业等各个方面都广泛应用。而自动控制系统中最常见的是二阶系统，二阶系统的种类有很多，本文主要以最典型的二阶系统之一固高球杆模型为列具体介绍其建模过程。

关键词：自动控制 二阶 固高球杆模型 建模

1 系统数学模型的建立

典型的球杆系统主要由两个部分组成，分别是控制部分和执行部分。在执行部分中，横杆由一根带刻度的钢杆和一个直线位移传感器构成，并保证横杆的一端保持不动，而另一端通过杠杆臂与减速齿轮边缘相连，可以保证其上下转动。如果横杆的倾斜角与水平面夹角成时，小球将会由于重力沿横杆滚动。只要通过控制部分控制横杆与水平面的夹角，就可以进一步控制小球在横杆上的位置，横杆倾斜角度的控制是通过调节电机的转速来完成的。控制部分包括IPM100智能控制器、计算机、传感器、光电码盘等组成，是基于由DSP控制技术的36 V、3 A智能伺服驱动单元。球杆运动的具体过程为：小球的位置通过线性传感器采集信号反馈给控制单元，控制单元由位置误差公式计算控制量，从而控制电机使减速齿轮转动角度，从而进一步控制横杆的倾斜角，让小球稳定到指定位置。

传统的球杆系统是一个开环不稳定的系统，其精确的数学模型很难准确建立，为此我们需要做一些简化。为了便于分析，将球杆系统的模型分为三部分： 机械模型，角度模型和电机模型。 机械模型用来反映小球的位置和横杆倾斜角之间的关系，角度模型用来反映横杆倾斜角和减速齿轮转角的关系，电机模型用来反映电机的电压和减速齿轮转角的关系。

1.1 机械模型。通过受力分析小球在横杆上应受到三个力的作用： 第一个为重力作用产生的沿着轴向下的力，第二个为使小球产生旋转的力以及第三个让小球在横杆上滚动时受到的摩擦力 。其三个力的表达式分别如下：

（1）

（2）

（3）

式中，为横杆的倾斜角，为小球的质量，为重力加速度，为小球的加速度，为横杆和小球的静摩擦系数。依据牛顿第二定律可得：

（4）

由于小球在横杆上运动时，其与横杆的滑动摩擦力很小，因此可以忽略不计，另外当时， ，则方程（4）可简化为：

（5）

对上式进行拉普拉斯变换得：

（6）

1.2 角度模型。球杆模型中由于横杆与水平面的夹角和减速齿轮转角之间的关系是非线性的、静态的，可以近似为：

（7）

上式中，為杠杆臂与减速齿轮的连接点到齿轮中心的距离，为横杆的长度。

1.3 电机模型 。直流电机是该球杆系统的唯一的动力源，我们设法通过控制调整转速来控制减速齿轮转角的大小，进而影响小球在横杆上的位置。考虑到系统中的电机响应速度相当快且减速齿轮转角对电压的响应也很快。因此，可将此电机模型近似为一个纯比例增益 。从而整个系统的传递函数由以上三部分构成， 由此可以得到系统的传递函数如下：

（8）

一般情况下，可将的值近似为1，则可近似为：

（9）

总 结

此方法通过建立多个数学模型间接地将固高球杆模型的基本原理表示清楚，将实际模型与理论推导紧密结合，巧妙地简化模型可以更好的理解和仿真二阶系统。另外，在实际地简化过程中，做出必要的近似也是一个非常好的手段，这样不仅可以得到想要的结果，还省去了不必要的计算。对于一般的系统而言，如果只是想要弄清楚其原理的话，这样的方法是非常实用而高效的。自动控制原理中的二阶系统种类繁多，但其原理都大同小异，本文所选择的二阶模型是最典型的二阶系统模型之一，读者可以以此为基础，自行深入学习其他二阶模型的建立过程与分析方法。

2  原系统的校正算法

通过这一系列的模型建立，我们已经大致了解了该模型的原理，下一步我们对此模型进行时域和频域分析，从而判断该系统的稳定性及各项性能指标。这里的系统仿真可以借助matlab软件中的Simulink元件库进行，这个元件库使用起来方便快捷，有很多人性化的设计，非常适合初学者尝试。如果想要对原系统的性能进行改善，我在这里为大家介绍几种常见的系统校正方式，例如pid算法、大林算法、最小拍无纹波控制、神经网络、模糊控制等。这些校正算法各有优缺点，平常实际控制领域应用最多的是pid算法，它最大的优点是不需要完全求出原系统的传递函数，而是通过不断改变设定值来查看实际效果与目标效果之间的差距，并努力消除这个误差。Pid算法被广泛应用的另一个原因就是其原理简单，p代表比例控制，适当的增大p可以加快系统的响应速度，使系统的上升时间缩短，但是如果p太大则会导致超调量增大从而引起系统稳定性下降，反而对系统不利;i代表积分控制，增大i可以减小稳态误差，提高系统稳定性;而d代表微分控制，增大d可以快速减小系统超调量，使系统快速稳定，提高其动态性能。在比例积分微分三者的共同作用下，一般控制系统往往能够满足要求，常用的还有pi控制和pd控制。其他算法就不再一一例举。

3  扰动和反馈

很多情况下，一般系统的开环控制是不稳定的，如果一旦有扰动信号加入，系统便立刻开始不稳定。故在设计系统时需要人为地加入负反馈，这样便可以使系统在受到扰动信号干扰时系统震荡小，不至于不稳定。不同的系统需要引入的反馈也不同，普通系统一般在仿真时可以利用单位阶跃信号来进行反馈。而常见的干扰信号有单位阶跃、单位脉冲、单位速度、单位加速度以及随机扰动等，种类繁多。

参考文献

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