张伟　白欣

中国引入西方代数学从《数理精蕴》的借方根比例开始，未引起多少重视。真正学习西方符号代数学始自李善兰和伟烈亚力合译的《代数学》，之后华蘅芳与傅兰雅合译的《代数术》促进了代数的流传。《代数备旨》及一些英文原版代数学教科书被广泛学习。清末兴学办报.促进了代数知识的传播。1902年，随着钦定学堂章程的颁行.编辑出版了大量代数教科书，进一步普及了代数知识。

中国古代数学秉承经世致用，工于计算十进位制计数法的筹算及《九章算术》中解线性方程组的消元法，《孙子算经》及南宋秦九韶《数书九章》中一次同余式组的解法，11世纪贾宪《皇帝九章算法细草》中的“杨辉代数”，宋元时期李冶的“天元术”、朱世杰的“四元术”，及秦九韶的求高次代数方程数值解的“正负开方术”，都堪称世界一流。明清时期，中国代数没有继续前代的辉煌，处于低迷状态，为什么会出现如此现象？一些数学史工作者对其进行了探讨，并找到了一些原因，一是中国代数问题来源于实际，中国古代数学家不善于按代数方程次数升高的方向去提出问题;二是中国代数所要求的解答都是具体的数值结果，对于一类代数问题的一般解兴趣不高，故从中国古代代数学的传统中生长出近世代数是困难的;三是我国古代代数学符号体系很少变动，比较笨重，难以旧瓶装新酒。

因此，中国学习西方代数学是必然的。在学习西方代数学的过程中，中国人是如何消化吸收，并进一步发展的？从仅为少数数学家掌握的“洋算”到近乎每位中学生都要学习的“代数”知识是怎样发展的？中国是如何经过百年的努力，缩小与世界代数学差距的？回答以上问题，都涉及代数学在中国的传播与普及问题。而以往的研究基于中国近代代数学的发展成就，没有讨论西方代数学在中国生根发芽、继承和发展过程。

学校以代数教科书为载体，通过教学，代数学得以传播和普及。由此，以清末代数教科书为研究重点考察代数学的发展，并总结中国在学习西方代数学知识方面的经验和教训，了解西方代数学与中国传统数学交汇互动及消融的过程，意义重大。

1902年前西方代数学在中国的传播

（1859-1901年）

明末清初西学第一次输人我国。康熙钦定的《数理精蕴》于1723年编撰完成。内容含“借根方比例”（下编第31-36卷），介绍了当时的一些代数学知识。此后的一个多世纪，在中国流传的是西方的“借根方”。由于限于宫廷，范围狹窄，所以没有产生多大的影响"。

1840年第一次鸦片战争以后，开始了第二次西学东渐。代数作为数学新学科被介绍进来。其中《代数学》（1859）和《代数术》（1873）堪称传入和传播西方符号代数的丰碑之作。据冯立异的考察，此两本著作也很快传到日本，并被翻刻和训点，对于促进日本数学近代化起到了极大的作用。

1859年，清末数学家李善兰与伟烈亚力合作翻译了《代数学》，这是西方符号代数首次引入我国。《代数学》原名“Elements of Algebra”，原著者Augustus De Morgan（1806-1871），现译名德摩根。该书在1835年初版，1837年再版。全书13卷，主要有一次方程、多元一次方程、指数、二次方程、限及变数、级数、指数对数之级数等内容。《代数学》的翻译出版具有开创性意义。它不但是我国第一部符号代数读本，而且开启了西方代数学在中国传播的新纪元。尤其是伟烈亚力与李善兰合力创译的代数术语和数学符号为以后数学翻译的进行奠定了基础，为代数学在中国更好地传播创造了有利的条件。《代数学》内容新，难度大，流传不畅。刊后的十几年，甚至没有几本以“代数”为名的著作出版。可以说，“《代数学》在当时并不流行。”

1873年傅兰雅和華蘅芳合译《代数术》。该书原名“Algebra”，原著者W.Wallace，今译华里司。比之于《代数学》，《代数术》内容更加系统丰富，译笔更为流畅清晰。全书25卷，共281款。主要内容有释号、代数起首之法、代数诸分之法、代数之诸乘方、无理之根式、代数之比例、变清独元多元之一次方程式、一二三四次式各题之解法、等职等根各次式之解法、有实根之各次式解法.无穷之级数、对数与指数之式、生息计利、连分数.未定之相等式、用代数解几何之题、方程式之界线、八线数理等。华蘅芳曾受教于李善兰，并钻研《代数学》，深谙其艰深难懂之处。这使其翻译的《代数术》更易于理解和接受，正因为《代数术》的刊行，西方符号代数才开始流行。

19世纪末，近代西方传教士在华兴办的教会学校已达两千余所，在校四万余人，占当时中小学总人数的一成之多。教会学校开设数学课程中含代数。由传教士组成的学校教科书委员会编写了大量数学教科书，且被广泛采用。其中《代数备旨》是美国人狄考文编译.邹立文笔述，1896年美华书馆铅印出版。该书共十三章，内容浅显易懂，是狄氏将学生的笔记加以归纳整理，再印成书。由于师生合作，经过教学实践，能够更好地被中国学生理解和掌握，很受欢迎。据清末出版的《中国教育指南》记载，当时具有代表性的12所中学有9所使用《代数备旨》，足见其使用之广，影响之大。此外一些学校还使用英文原版代数教科书：

（1）Wentworth：Practical Arithmetic，1893;

（2）Wentworth：Elements of Algebra，1881;

（3）Halland Knight：Elementary Algebra，1885;

（4）Chrystal：Text Book of Algebra，1886;

（5）Halland Knight：HighAlgebra，1887;

（6）Fine：Algebra，1901

总之，这一时期一些有识之士已充分认识数学的重要性。主要通过译书、兴办学堂或出国留学研习代数回国任教等多种方式传播西方代数。基于此，大量代数相关著作得以出版，截至1901年出版的数学书籍含“代数”的就达80种。此期的数学著作，代数占很大的比例。无论是前期的“会通”，还是后期的传播与普及，“代数”之名已从被动接受到主动选择，显然已渐入人心。

1866年底，奕诉等奏请京师同文馆增设天文算学馆。1868年，李善兰到任算学教习，李故后由其弟子席淦和同文馆毕业生王季同先后接任，直到1902年结束。由于京师同文馆没有指定教科书和具体教学内容，根据《算学课艺》中所列代数试题可推断同文馆“代数学”课程用书即是李氏的《代数学》。虽然京师同文馆所学代数内容基本是初等代数的内容，也没有培养出几个像样的数学专门人才，但作为当时最重要的官办学堂开授代数课程，无疑对代数在全国各级各类学校的传播与普及起到了巨大的推动作用。

继同文馆之后，各级各类学堂如雨后春笋蓬勃发展。洋务派人士积极开办一系列的新式学堂。学堂课业中代数均被作为主要的学习内容。1876年的广东西学馆开设数学课程。同年，傅兰雅、华蘅芳在上海格致书院开堂授课。受此影响，有的书院及私塾也群起效仿。1884年上海求志书院刘彝程、南著书院张文虎，1890年两湖书院华蘅芳都大力推行算学教育。1894年崔朝庆、长沙湘水校经堂添设算学课。这些学堂的数学课程中均有代数内容，促进了代数知识的普及。

为更好地进行文化渗透，在华传教士还编辑发行报刊，如《六合丛谈》（伟烈亚力），《中西闻见录》（丁韪良、艾约瑟），《格致汇编》（傅兰雅）。这些报刊传播了大量的科学知识。风气渐开，国人亦不甘人后，《亚泉杂志》《普通学报》《湘学报》《新学报》等陆续刊行。随后，还出现了《算学报》《中外算报》《数学杂志》等数学专业期刊。这些杂志或多或少地含有代数内容，有的连载数学专著，有的刊发数学争鸣，有的以互相问答的形式讨论算学难题，有的刊印数学试卷和数学译文，内容丰富，形式多样。这些刊物为当时的数学工作者数学学习者提供了很好的研习平台。

甲午战败后，国内出现了许多算学社团，其中较著名的有浙江瑞安学计馆、谭嗣同等人创办的浏阳算学馆以及周达等人创办的知新算社等。这些算学机构的成立，对代数知识的传播与普及起到了积极的推动作用。

1902年后的代数学传播

（1902-1911年）

清末初订学制时期，从1902年至1911年清朝灭亡，一共十年。这一时期，全国兴起了办学热，编写出版了大量代数教科书，代数知识得以传播和普及。

清末代数教科书的编写是在兴新学的背景下展开的，主要是翻译日本的代数教科书，自编的较少。排版方面，也约有以下五种情形：一是采取竖排编写，同时使用中国传统数學符号。二是内容竖排，数学名词中西合用。三是内容横竖混合编排，数学名词中西兼用。四是内容横排，符号仍采用中国传统符号。五是内容横排，数学名词全部西化。从排版的演变情形可看到人们逐渐接受西方教科书的编排方式。

面对版本众多，水平不一的各科教科书，清政府为保证中小学堂的教育质量，颁布了教科书审定制度，要求所有刊行的教科书必须经过审查方可采用。清末教科书的审定有两个标准：一为是否合乎当时的教育宗旨，即对教科书进行意识形态色彩的思想性审查;二为是否合乎现代教育的基本规范，即对教科书进行教育的学术性和技术性审查91。代数教科书也在审查之列。

民间出版机构出版的教科书，从质量上来说远优于官制教科书。1909年学部审定的代数有：真野宫田的《最新代数教科书》，高木贞治的《代数学教科书》，查理斯密的《小代数教科书》。1910年，学部颁布“第一次审定中学堂初级师范学堂暂用书目”共计84种，民间出版物占九成以上，其中尤以商务印书馆的30种为最，近四成。其中就包括《代数学》（编者未注明）。其后又出版了《中学教科书小代数学》等。

依据相关书目对清末出版的代数教科书的统计，1904-1911年共出版33种，其中翻译或编译的22种（其中日本著者18种，美国2种，英国2种），自编的11种。出版商主要是国内的商务印书馆、文明书局、科学书局等及国外的东京科学会编译部、清国留学生会馆、东京东亚公司等。商务印书馆首开为各级学校编印整套教科书的记录，满足了当时学堂的需求。其他书局也出版了一些代数教科书。如，上海的时中书局，虽在很多目录未见记载，但从其发行的《时中书局新书目次》中可以看出，曾出版了不少代数教科书。又如，慕尔氏代数学等。南洋官书局出版的中等代数学教科书等。

清末主要使用的代数教科书为日译教科书。一是因为清末新学制的制定主要仿自日本，所以学习的内容及教科书也主要学习日本。二是大量日本教习来华从事教学工作，主要讲授日译教科书。三是大量赴日本的中国留学生从事教科书翻译工作，或归国后从事教学工作。1906年京师大学堂使用的代数教科书是《代数学》，译自日本上野清所编的教材，程度仅相当于现在的高中代数川。当时，国内也有一些自编的代数教科书出版和使用，但不是主流。

清末代数教科书个案分析

——以桦正董的《代数之部》为例

清末癸卯学制的建立，主要是以日本学制为蓝本，中国的代数教育也主要是翻译日本的教科书，本文选取桦正董《代数之部》（赵缭、易应岷译，上海群益书社，1908）的理由有二：一是桦正董的代数教科书被翻译的较多，有4种;二是该书不仅清末有广泛使用和影响，在民国时期仍然有出版使用，影响时间较长。

桦正董（1863-1925），数学教育家、数学家，是日本数学教育近代化的先驱之一。《代数之部》分上下两卷。上卷目次为：“整数四则”、“一次方程式”、“因数分解法，倍数，约数”、“分数式”、“一次方程式之续，不等式”、“附录”（包括“杂题”）。下卷日次为：“方及方根”、“二次方程式”、“指数论”、“开方法”、“比，比例”、“级数”、“对数”、“序列，组合”、“二项定理”、“附录”（包括“极大，极小”、“杂题”、“对数表”）。

从全书的知识编排来看，充分体现了代数以“方程为纲”的理解，即“代数学可直谓之方程式之学”，“自卷初即授学者以方程式之知识，凡整数四则，因数分解法，分数、根数之编遇有机会即课方程式之问题以明其应用。盖如此足以起学者之兴味也，然于方程式之编仍依一定之次序以立证信不稍紊其统系。”[121著者确实是按这样做的。全书围绕方程展开，没有涉及函数或图解方面的知识。

该书的编写不仅是依照日本文部省规定之教授要目，而且著者还进一步进行了推广，桦正董认为：“全依教授要目则教科书教授法之改良不可得。”这说明著者对代数教学有独到见解。

該书叙述简洁，各章节短小而精焊，没有完全按照直线上升的知识模式，个别知识采取了螺旋上升的方法，如移项及一元一次方程的解法等，处理恰当，很有特色。本书提出五条运算定律，这是先进的，在当时其他书中尚未出现。尤其是对0作分母一处处理较为合理，对分式方程的根进行了讨论，并规定va只表示正值，这在解无理方程时可防止产生增根。另外，该书练习题较少，这与当时许多教科书像习题集一样有很大不同，为防止学生练习较少，特意安排了附录，安排了一些杂题和补充习题，这在当时同类教科书中是少见的。当然，由于语言精练，有时难免存在粗浅，说理不明等弊端，书后没有附练习题答案，也许不利学生自修或学习。

虽或存在知识编排上没有更多考虑学生的心理，举例和生活结合不够紧密等缺点，但囿于当时的教学实际，该书无疑是较为优良的教本。

西方代数在清末中国的传播，发端于《数理精蕴》，但由于没有引入符号，没有传播开来。真正传播的开始源于李善兰和华蘅芳的翻译工作，他们和传教士合作翻译引入了《代数学》和《代数术》，同时创造了大量的数学术语，为代数学在中国的传播创造了良好的基础。清末在落后挨打，求强求富的背景下，开始大力兴学，学习科学知识，作为主要课程的代数进入学校课程。虽然内容浅显，尚属初等代数范畴，但毕竟使代数的基本知识开始流传。在这里，国外学者、国内数学家、留学生、数学毕业生等数学工作者付出了艰辛的努力。在1902-1911年这个时期里，代数教科书使用问题已基本得到解决，只是自编的较少，翻译的较多而已，且翻译的底本主要来自日本，而比之于前一时期，则主要采用的是美国传教士的书。就质量而言，翻译的内容明显优于自编的内容。在数学教科书的知识编排方面，已基本采用了国际通行的数学符号，改变了长期使用的从右至左的编排方式。这一革新具有划时代的意义。代数教科书的内容及其难度不逊于欧美和日本。从这一点看，较之于前一个时期有了明显的进步。其中较大的缺陷是代数教科书中的习题太多，只能选做。当然这也可能是其优点之一，因为当时学习数学的参考资料匮乏，即使有也需较大花销，教科书貌似习题集恰也部分解决了学生的演练需要。师资方面，由于学堂发展较快，教师供不应求。有些条件较好的大中堂，还聘请欧美日籍教员。虽然这些外籍教师水平参差不齐，有的甚至水平并不算高，但毕竟还是走在国人的前面了。

总之，清末时期的代数水平远落后于世界水平，同时在办学与传播过程中又受到了传统势力的阻挠，受困于各种条件的制约。作为转型时期的教学内容，相关教学机构代数课程的开设为清末数学家提供了开展数学教学研究的舞台，同时也培养了一批适合社会需求的数学人才。代数知识的学习，在一定程度上促进了清末学风的转变。早期学习数学的毕业生主要承担了各学堂的代数教学工作，为代数知识的普及做出了巨大贡献。即使后期大量的留学生回国，这些早期数学毕业生仍然活跃于初、中等数学教育舞台。可以说，清末代数知识的传播与普及，促进了数学教育的发展，使得民国成立以后代数传播得以顺利进行。从这个角度说，清末代数传播也是中国数学走向现代化的基石，具有不可忽视的历史地位。

[本文受内蒙古自然基金项目（2015MS0112），集宁师范学院博士科研启动基金项目（JSBSJJ1704）支持。白欣为通讯作者。]

[1]韩琦.康熙时代西方数学在宫廷的传播.自然科学史研究，2003（2）：150.

[2]冯立异，牛亚华.近代汉译西方数学著作对日本的影响.内蒙古师范大学学报，2003（3）：85.

[3] Ann Arbor， Michigan. Li shanlan， the Impact of Western Mathematics in China during the late 19th Century. City University of New York，1991： 328.

[4]赵栓林.对《代数学》和《代数术》术语翻译的研究.呼和浩特：内蒙古师范大学，2005：10.

[5]顾长声.传教士与近代中国.上海：上海人民出版社，1982：89.

[6]李迪.中国数学史大系.中国算学书目汇编.北京：北京师范大学出版社，2007：124.

[7]郭金海.京师同文馆数学教学探析.自然科学史研究，2003（22）：53.

[8]王秀良.清末杂志、社团与数学传播.天津：天津师范大学，2003：1.

[9]南洋官书局职董陈作霖呈书三十五种请审定禀批.学部官报，第31期《审定书目》.

[10]张伟，董杰.近代数学教科书出版情况考.兰台世界，2015（1）：75.

[11]张奠宙.二十世纪的中国数学与世界数学的主流.自然科学史研究，1986（3）：274.

[12]桦正董.中学校数学教科书代数之部.赵缭，易应岷，译上海：上海群益书社，1908：原序.

[13]魏庚人.数学教育文集.郑州：河南教育出版社，1991：60.

关键词：清末 代数 西学东渐 数学教科书 代数之部