李纯良　曾计哲　景天聪

摘  要：随着我国老龄化问题的不断深化及生活水平的快速提高，养老服务业取得一定程度的进步，但养老供给与需求的矛盾依然比较突出。基于此意义，本文建立了微分方程模型。首先，根据搜集的过去十年老年人口数量，预测2039-2048年老年人口变化趋势;接着进行需求与供给的预测，并得出养老供给与需求仍不平衡，但它们之间的差距与之前相比缩小了一些。

关键词：养老服务体系;供给与需求;微分方程模型

1.引言

随着我国老龄化问题的不断深化及生活水平的快速提高，养老问题引起了社会各界的关注。“十三五”规划说明到2020年，老龄事业发展整体水平明显提升，养老体系更加健全完善，及时科学应对、综合应对人口老龄化的社会基础更加牢固。虽然老年人的权益保障和养老服务业取得一定程度的进步，但养老资源供给与需求的矛盾依然比较突出[1]。

對唐山市养老事业发展现状的调查及研究，可发现唐山市养老需求与供给方面存在问题，因此，本文建立微分方程模型对养老需求进行定量分析，进而预测出20-30年老年人对养老需求的情况。

2养老服务需求预测的理论基础

根据唐山统计年鉴，获取有关老年人的相关数据，根据数据的特点，选择微分方程模型对唐山市老年人口数量进行预测。

老年人口是养老事业的核心，因此老年人口的数量规模、空间分布、行为方式，将直接影响养老需求与供给水平及空间差异性。

3 基于微分方程的老年人口数量预测

3.1模型的建立

本文采用微分方程模型，以2009-2018年人口数据为基础数据，预测未来20-30年老年人口数量的变化[3]。

假设老年人口净增长率是一常数，则：

于是满足如下微分方程：

解得：

将老年人口净增长率变易为，通过建立唐山市老年人口Logistic模型来预测未来老年人口数量的变化。老年人口净增长率与唐山市总人口数量有关，即

从而有：

对Malthus模型引入竞争项，令，得到微分方程

即：，分离变量：，解出：。令，求得：

故满足初始条件，得解为：

当时，，即，故有，其中，代表为时刻时的老年人口数目，是某年的老年人口净增长率，是老年人口净增长率，是无穷值，是研究第一年的老年人口数量。

3.2模型预测求解

以及，代入中可得，另外根据可求出

得预测公式为：

未来20-30年唐山市老年人口总量预测如下表（万人）：年份从2039-2048分别为308，324，341，359，378，398，419，442，465，490。

根据上述预测结果可知，2039年唐山市老年人口总量将达到307.59万人，2048年老年人口总量是2039年的1.6倍，说明养老事业需求的主体数量庞大，潜力无穷。老年人口总量的预测结果可作为政府进一步完善养老服务体系的依据。

3.3模型检验

为确保所建立的模型具有较高的可信度，对模型预测结果进行可信度检验，微分方程预测模型预测值、相对误差如下表：

得出五组原值-预测值-相对误差分别为60.76，84.46，0.39、73.42，88.94，0.21、81.98，93.66，0.14、90.67，98.63，0.087、100.95，103.87，0.028平均相对误差为：，对照精度检验等级得出，相对误差得等级为一级。利用微分方程模型对人口进行预测的准确率理想。对老年人在三方面（医疗需求、日常照料需求、精神慰藉需求）的需求分别做进一步的研究。

4 不同需求预测与供给

由于唐山市养老服务产业目前不够完善，养老供给不足，通过查阅相关文献，搜集到唐山市老年人对精神需求、日常照料需求、医疗需求的需求百分比。2009-2018中精神需求（%）分别为30.64，31.26，32.50，34.80，35.26，37.24，40.92，41.67，42.67，45.27。日常生活（%）分别为38.47，40.68，42.98，44.30，46.17，48.21，49.52，50.67，53.63，56.25。医疗（%）分别为26.39，26.91，27.54，29.61，30.15，35.82，38.52，40.67，45.61，59.61。

使用微分方程计算出日常生活、医疗、精神需求三方面需求的预测公式：

预测数据如下：2039-2048中精神需求（%）分别为30.64，31.26，32.50，34.8  62，69.3，78.2，89.5，89.8，92.64。日常生活（%）分别为70.61，70.99，73.15，72.44，74.11，75.72，76.08，77.01，78.67，77.25。医疗（%）分别为66.03，66.97，67.38，68.70，71.09，70.93，75.81，80.21，83.64，85.33。

由表格中数据可得，随着时间的推移，老年人对精神慰藉的需求愈来愈迫切，对日常照料的需求在75%上下波动，对医疗的需求也在逐渐增长，但增加的幅度小于精神需求的。到2048年，老人对精神方面需求已经高达92.64%，与日常生活需求、医疗需求相比，有明显的增长趋势，恰恰印证了现状分析的准确性。于是，以2039年为例，本文又将精神慰藉需求、日常照料需求、医疗需求细化分析，预测出唐山市老年人在2039年对各项事务需求的人数，并与2018年的做对比。通过预测出的养老需求呈上升趋势，对养老精神需求的供给会不断递增，唐山市的养老供给在未来20-30年内很大可能会稳健的增长[4]。

参考文献

[1]常敏. 城市居民养老服务需求研究[D].西北大学，2018.

[2]侯冰. 城市老年人社区居家养老服务需求层次及其满足策略研究[D].华东师范大学，2018.

[3]赵婧. 我国居家养老服务需求预测及其发展思考[D].浙江大学，2010.

[4]周绪凤. 基于马尔科夫模型的中国养老护理员需求量预测研究[D].苏州大学，2018.

第一作者简介：李纯良（1998.1.26）男，汉族，本科生，本科，数学与应用数学，数学建模，数值计算，实变分析。