上官光毅

浙教版《义务教育课程标准实验教科书——数学》九上第118页习题：

如图1，有一块三角形余料，它的边mm，高mm.要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在上，其余两个顶点分别在上.问加工成的正方形零件的边长为多少mm？

这是一道传统的课本习题，各种版本的教材都有与它背景

相同的习题或例题，甚至许多中考题就是由它改编拓展而来。

它之所以典型，是因为该题的背景贴近学生生活实际，其求解过程又能考查学生综合运用数学知识的能力，同时该题的探索空间很大。基于此，我在教学中以此题为切入口，设计了一堂富有变式、梯度递进的探究课。下面就本节课的探究过程作一简述和浅析。

问题：求加工成的正方形零件的边长？

生1：我是利用相似三角形的性质得出比例式求解的.

如图1，设正方形的边长为（mm），由∥，得∽，

∴，即，∴.

在大多数学生看来，这是一个“很不起眼”的问题.他们没花多少时间，都求出了正方形的边长.于是我顺水推舟，对题目的条件稍作改变，给出如下的变式问题。

探究一：将原题中的“正方形”改成“矩形”，使矩形的长、宽之比为，其余条件不变，求矩形的长与宽.

生2：要分两种情况进行讨论.

⑴图2是矩形的短边落在上的情形，

设矩形的宽为cm，则长为cm.

∥  ∽   ∴，即，

解得 ，此时这个矩形的长为60cm，宽为30cm.

⑵图3是矩形的长边落在上的情形，

设矩形的宽为cm，则长为cm. 则，

解得 ，此时这个矩形的长为cm，宽为cm.

思考：这样的改编设计，使问题有了“动态”的色彩，分类讨论的思想自然蕴于其中.这样的两种分类情形也比较显然，对大多数学生而言是可接受的，所以课堂教学中学生能广泛参与.另外，“动态”矩形的形状随点的运动而变化，这就可以引导学生探索变化过程中矩形面积的最大值，将二次函数的知识融入其中，考查学生建立模型，综合运用知识的能力.

探究二：分别是上的动点，请探索矩形的面积是否存在最大值？若存在，求出矩形的最大面积;若不存在，请说明理由.

生3：需要建立二次函数模型.

师：如何建立？以什么为自变量？

生3：设长为cm，利用相似可以将矩形的另一边（即的长）表示成关于的代数式.这样矩形的面积就是关于的二次函数关系.

师：思路很清晰！

我让学生根据生3的思路完成解答，并且自己作了板书示范。

解：设矩形的边长为cm，边的长为cm，矩形零件的面积为.

由∽得，即，

解得.

∴

∴当时，（cm2）.

写完该题，只见学生4挥手向我示意，兴奋地说道：“当时，恰为的中位线.”“这难道是巧合吗？”，他同时又有些不解.我觉得这是个良好的教学契机，一方面“最大值出现在恰为中位线时”这一细节很容易被学生忽略，另一方面学生的疑问“是否巧合”可以把他们引向更本质的探究.

探究三：将原题中的边长改为cm，探究矩形何時能达到最大面积？

我放手让学生们讨论、思考.教室里顿时议论纷纷，气氛热烈！

生4：我取代入，计算得到，当时，面积取到最大值.这个时候也是的中位线.

他说完很兴奋，毫不掩饰自己的得意之情.此时生5有点不屑地插了一句：“不能用特殊情形来说明一般结论吧！”.看他胸有成竹的样子，我立即请他来讲述推理过程.

生5：将比例式中的120换成，即有，则

∴

可知当时，也即当为的中位线时，达到最大值.

几乎是一气呵成，我带头把掌声送给了他，并及时引导学生进行归纳小结.在分析、解答、小结之后，探究三似乎又给学生新的启示.

生6提出质疑：老师，当矩形的一边落在或上时，矩形的最大面积是否存在？

面对这突如其来的问题，我有点束手无策.我回头看了一下黑板，巧然发现在经过配方的二次函数解析式中，不管边长怎样变化，矩形的最大面积都等于的一半.于是，我坚信当矩形的一边落在或上时，它的最大面积不仅存在，而且就等于的一半.学生的疑问打乱了预先的教学步骤，但这个意外的问题也把探究引向更深一层，将课堂推向高潮.