陈红丽

摘要：在新的教育理念纷纷出炉的形势下，许多一线教师不太有底气说“数学模型”，害怕染上机械记忆。在我国，数学建模在大学开展得较多，在小学阶段研究数学建模是否可行？为此，结合对数学模型教学的认识，在分类、替换的教学中进行理性思考。

关键词：数学模型;分类;替换;抽象

为了一定的目的对现实原型做抽象、简化后，采用形式化的数学符号和语言所表述出来的数学结构就是“数学模型”，它是数学符号、数学式子及数量关系对现实原型简化的本质的描述。

一、分类中形成数学模型

小学数学的教学内容本身就是一种数学模型。如数有自然数、分数等之分，自然数是表述有限集合“数数”过程的数学模型，图形有三角形、四边形等之分……数学模型在分类中逐步形成。

在第二次教学二年级上册“角的初步认识”时，笔者针对数角情况进行了分类学习，从而形成了三种数学模型，有效地突破了教学难点。

【教学片段1】

师呈现材料（图1）：这里有几个角？

图1

师：如果觉得太多了的话，也可以试着先将这10幅图分分类，不仅要会分，还要能说出理由。

师指着第一类问道：你为什么将它们分为一类？它们的形状怎么样？

生：像拼音字母“t”的大写“T”，其中一个是“T”，其他三个是变了形的“T”。

师：我们为这类情况取个名字。（师生讨论后定为“T字型”）

师：他说得很有道理，谁来评评第二类图形？

生：这类里面，第一个图形就是“十”，第二个是变了形的“十”。

师：我们也为这类情况取个名字。（十字型）

师：这类情况的名字呢？（爪字型）

师：现在请你数数它们的角，你有什么发现吗？

生：“T字型”角的数量是2个，“十字型”角的数量是4个，“爪字型”角的数量是3个。

呈现第二组材料（图2）：

图2

师：      有几个角？

生：上面和下面都是T字型，都有2个角，还有四周的4个角，共8个角。

师：          有幾个角？

生：左边爪字型3个，右边爪字型3个，还有上下各1个，共8个角。

生：      中有4个十字型，四周还有4个，一共是8个角。

……

数学模型 T字型

（        ） 爪字型

（         ） 十字型

（         ）

解决实际

数角结果 4+4=8（个） 3+3+2=8（个） 4+4=8（个）

在经历分类的过程之后，形成了三种情况。正是因为有了分类，出现了数学模型。如图3所示。

图1：

图3

从图3的框架中，我们可以看出构建数学模型的基本步骤：对数学模型进行推理、演算，得到了独属于这类数学模型的解，再运用“数学模型的解”解决实际问题，得到“实际问题的解”。

二、替换中形成数学模型

教材上的例子，许多都能从一个例子抽象出数学模型。这一过程不仅能通过分类实现，也能通过替换形成模型。下面是笔者“加法的意义”的教学片段。

【教学片段2】

第一次教学：

师：请同学们认真观察这两幅图，说一说从图上你看到了什么？

师：你们能根据这幅图提一个数学问题吗？

师：很好！你知道怎样列式吗？板书：1+2=3。

接着教学加号及其读法。

本节课，笔者从插图入手，引导学生提出数学问题，根据问题列式计算，线条似乎明确而合乎情理。但当变换另一个加法情景时，有部分学生却茫然了。此时，笔者陷入了沉思：如何让孩子们在不同的加法情境中理解和解决问题？于是，在第二次教学时，笔者做出了修改。

【教学片段3】

第二次教学：

师：请同学们认真观察这两幅图，说一说从图上你看到了什么？

师：你们能根据这幅图提一个数学问题吗？

师：你知道怎样列式吗？

师：大家能不能用小棒代替小鸽子，将这一过程摆一摆呢？

（教师指导学生摆小棒，并请一位学生将小棒摆在对应的鸽子图片的下面，形成鸽子与小棒一一对应的教学材料）

师：原来有1只红色鸽子，后来又来了2只蓝色鸽子，现在共有3只鸽子;原来有1根小棒，后来又摆了两根小棒，现在共有3根小棒。这两种情况都可以用同一个算式1+2=3来表示。

师：谁来说一说这里的1、2表示什么？3又表示什么呢？

师：在生活中还有许多这样的数学问题，1+2=3除了可以表示鸽子、小棒，还可以表示什么呢？请同桌互相说一说。

师：除了能摆小棒表示1+2=3，还能摆其他的图形吗？

生：还可以摆这个圆片，或画小圆点。

形成板书：   +          =

+          =

1  +    2    =       3

上述两个教学片段，所体现出来的教学着力点是不一样的。第一次教学，属于“就例题论例题”;第二次教学，渗透了初步的数学模型思想，将原有的“鸽子”例题，替换成了关于“人”“书本”的题目。这种替换并不是简单、无目的地进行，而是为了建立数学模型。关于“鸽子”“人”“书本”甚至更多的事例，其实都是同一个数学模型，其模型的根源就是“1+2=3”。

三、异化中摒弃“固化”的数学模型

也有人说，数学思维方式的固定会导致限制学生的思维。比如，学习倍数问题：“小红有9支铅笔，小白的铅笔数量是小红的3倍，小白有几支铅笔？”老师总结：看到“倍”想到“乘法”。于是，当看到“小红有9支铅笔，小红的铅笔数量是小白的铅笔数量的3倍，小白有几支铅笔”时，学生又先想到用“乘法”解决，结果错了。这种异化的现象，是数学模型固化的后果。所以要有数学模型，但是不要“类型化”。

心中有“树”，教学才有“术”。如果说数学模型是“一枝独秀”，那么这枝“独秀”在一线教师们的努力下，必将会“春色满园”。

（责任编辑：韩晓洁）