夏寅

【摘  要】2017版新课标提出六个核心素养：数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算、数据分析。本微专题是围绕学生学习的重点和学习中出现的问题，利用相关知识和方法形成的专项研究，从而解决高三复习中的一些关键点，促进学生核心素养的形成和发展。

【关键词】数学;核心素养;微专题;数列问题

以“数列”为例，高考中涉及等差数列的内容有等差数列的定义、运算和性质等。数列题入手要先能找出数列的本质，这节微专题让学生深刻理解等差数列的定义及其等价形式，能选择有效的方法构造等差数列解决一般数列问题，难点是将非等差数列转化为等差数列，体现的核心素养是逻辑推理和数学运算。对高三第二轮等差数列专题教学，我采用微专题的方式教学，结合课堂实例，以下是一些我的教学经验。

一、熟悉等差数列判定方法，考查学生辨析理解能力

1.在数列中[an]， [a]1=15，3[an+1]=3[a]n-2（n∈N[∗]），则[a]19=——————。

2.已知数列[an]满足[a]1=2，[a]1+[a]2+[a]3=12，且[a]n-2[an+1]+[an+2]=0（n∈N[∗]），则数列[an]的通项公式为——————。

3.已知数列[an]满足[a]1=1，（n+1）[a]n-n[an+1]=n（n+1），则数列[an]的通项公式为——————。

4.已知数列[an]满足[a]1=1，[an+1]=[3anan+3]，则数列[an]的通项公式为——————。

本节重在以题目带动学生回顾等差数列的判定方法，学生简述过程及方法，教师进行适当点评。

二、课堂导学，考查学生建构思维的能力

例题1：数列[bn]（bn>0）的首项为1，且前n项和[Sn]满足[Sn]-[Sn-1]=[Sn]+[Sn-1]（n[≥]2）求数列[bn]的通项公式。

本题由学生分析解题思路，展示解题过程，小结等差数列构造的要点，教师进行适当点拨。

例题2：数列[xn]中，[x1]，且[x]n+1=[2xnxn2+2]，求数列[xn]的通项公式。

本题由学生对关系式的特点进行分析，寻找解题的突破口。

例题3：设各项均为正数的数列[an]，[bn]满足5[an]，5[bn]，5[an+1]成等比数列，lgbn，lg[a]n+1，lgbn+1成等差数列，且[a]1=1，b1=2，[a]2=3。（1）求證：数列[bn]为等差数列;（2）求[an]，bn。

本题由师生共同分析，不断调整解题的策略，最后总结解题方法。

例题4：已知函数[fx]=[1x]，数列[an]的前n项和为[Sn]，对任意n∈N[∗]，点[Pnan，1an+12-4]都在函数[fx]的图像上，且[a]1=1，[a]n>0。

（1）求数列[an]的通项公式;

（2）若数列[bn]的前n项和为[Tn]，且满足[Tn+1an2]=[Tnan+12]+（4n-3）（4n+1）。试确定b1的值，使数列[bn]是等差数列。

本题由师生共同探究如何构造等差数列，解决探索性问题的一般方法。

以上例题皆主要考查学生对等差数列定义的本质的理解，掌握其精髓，通过实践提炼总结，最后恰当运用到解题中，也考查了学生的基本素养。

三、课后巩固习题

1.已知数列[an]满足[a1]=[a2]=[a3]=2，[an+1]=[a1][a2]…[an]-1（n[≥3]），[bn-2=][a12]+[a22]+…+[an2]-[a1a2]…[an]记。求证：数列[bn]为等差数列，并求其通项公式。

2.设数列[an]的前项积为[Tn]，[Tn]=1-[an]，设[cn]=[1Tn]。

（1）证明数列[cn]成等差数列;（2）求数列[an]的通项公式。

3.设[an]是首项为4的单调递增数列，且满足[an+12+an2+16=8（an+1+an）+2an+1an]。求数列[an]的通项公式。

4.设数列[an]中，[an>0]，且2[Sn]=[an+1]，求[an]的通项公式。

5. 已知数列[an]满足[a1=15]，且当n>1，n∈N[∗]时，有[an-1an]=[2an-1+11-2an]，求数列[an]的通项公式。

四、课后教师反思

高三复习课往往存在这样的问题：由于学案基本上都是学生事先预习过，并且教师也精心批改过的，课上当教师再详细地讲解解题过程、归纳方法时，部分尖子学生提不起听的兴趣、开始走神，甚至做其他的数学作业。而第二轮大专题复习综合性强，学生又难以适应，学生能力得不到提高。

一段时间后，我就采用这样的方法，首先课堂尽量形成模块化，形成微专题，课前布置相应的任务，只要求完成学案的一部分;批改过后，有意识地记下典型错误，在课堂上让学生充分暴露错误、分析错因;对于典型例题的讲解先听听学生的分析、学生的解法、学生的反思、学生的错误;让学生在课堂上交流展示，展示对问题的分析思维过程、展示问题的精彩解法、交流其他同学对解法的认识与思考。既有课前精心准备的展示，又有课堂即时教学成果的展示。讲解过程中，我所做的工作是精讲点拨、变式迁移，把自己对问题的理解转化为学生的理解，将以前讲评学案时直接讲给学生听的做法，变为让自己的理解代替学生的理解这种高投入低产出的方式。一阶段下来，学生在课堂上敢想敢说，思维经常碰撞出火花，带给我很多惊喜。学生在微专题复习过程中，对于有关联的知识记忆比较深刻，运用能力也比较强。

以本节课为例：对于例题2、数列[xn]中，[x1=1]，且[xn+1=2xnxn2+2]，求数列[xn]的通项公式。两位同学讲述了自己不同的做法后，我要求同学们结合课前预习4：“已知数列[an]满足[a1=1]，[an+1=3anan+3]，则数列[an]的通项公式为——————。”编一个递推关系式，使倒数过后出现等差数列，两位同学各抒己见，在课堂上展开了一场小的辩论，最后大家总结出了一般规律，把问题看得更透彻了。

对于例题3，在两位同学分享了各自的方法后，第三位同学举手说他还有其他的解法，尽管这时候离下课时间只有2分钟了，按照我的预设此时应该是小结时间，但是我还是让他谈了自己的想法。尽管他没有表达清楚，这样的课堂结尾好像不够完美。但我想，一个课堂首先必须是真实的“学生的课堂”。评课过程中，听课教师也充分肯定了学生思维活跃、参与度高的课堂表现，以及教师放得睿智、收得从容的教学风范。我想这与我一阶段以来在高三第二轮复习中采用的微专题方式以及我对自身教学方式的改变是分不开的。

微专题给高三第二轮复习带来新的活力，让课堂更生动，使知识更深刻、更系统，可以很好地提高学生分析问题、解决问题的能力，能够更好地提升学生的核心素养。

（责任编辑  李 芳）