张世超

【编者按】在推进教育国际化的进程中，双语教育作为推进教育国际化的课程实施载体越来越受到人们的重视。数学、音乐、美术、科学和体育这五门学科，是双语教育专家们一致认为最适合在小学阶段实施双语教育的学科。其中，双语数学、双语科学的教学质量如何，已经被专家们公认为是判别双语教育成败的最重要的衡量指标。开展双语教育课程改革实验，离不开双语教育教学的研究。只有加大对实施双语教育学科的教学研究力度，才能发现和掌握双语学科课堂教学的有效路径和方法，从而提升双语课程实施的有效性，保证其教学质量。为了鼓励更多双语教师积极投身双语学科的教学研究活动之中，本刊特开辟专题，集中刊发两篇双语数学教学研究文章和一篇双语美术教学研究文章。尽管这些文章较之于以中文作为教学语言的课堂教学研究而形成的文章在研究的深刻性方面还有较大提升空间，但是我们还是坚信“良好的开端是成功的一半”。

【摘要】数形结合是一种重要的数学思想方法。在小学双语数学教学活动过程中，数形结合思想的运用可以使数学问题的英文表述更加形象、直观，更方便学生理解数学语言的英文表述，从而在较大程度上提高双语数学课堂教学的有效性。

【关键词】小学数学 双语课堂 数形结合 数学语言 应用例谈

双语数学课程，在本质上仍然是数学课程，只不过在双语数学课堂上教师和学生使用的是英文版的数学教材，教师和学生使用的教与学的语言是英文而已。因此，在双语数学课堂教学中，《义务教育数学课程标准（2011 年版）》所倡导的“数形结合思想”等基本思想不仅依然适用于小学双语数学教学，而且对小学双语数学教学而言也是不可或缺的。

从某种意义上讲，正是由于双语数学课程教学的一个鲜明特征就是教材和教与学的活动都是以英文作为语言载体的，数形结合思想在小学双语数学教学中的运用将极大地方便教师双语数学教学活动的展开，也有助于学生更加生动、形象和直观地理解数学语言的英文表达。

但是，“数形结合思想”如何才能在小学双语数学教学中得到恰到好处的运用，尚需结合实例加以讨论，毕竟在双语数学课堂上，教师“教”的语言和学生“学”的语言都无一例外地是英文。

这里，通过列举小学数学三个主题的例子，展开讨论。

一、“数形结合思想”在数与代数教学中的运用

在小学双语数学学习阶段，学生最早接触的教学内容与中文版数学教材是一致的，即“10以内的数学认识”。对这一单元的教学，如果让学生单纯地靠死记硬背的方式去学习，则不仅会挫伤学生对双语数学的学习热情，而且不利于学生的数感（the sense of digits）的养成。因此，小学双语数学教师可以根据小学生瞬时记忆的特点，把“数形结合思想”落实在双语数学课堂，以增强双语数学学习的趣味性和体现小学数学自身的学科特点。

以沪教版“雙语教育实验教材”Maths（数学）一年级第一学期数的Counting部分为例，其涉及的主要知识点是让学生认识、理解“10以内的数”，在教数字1～10时，教师可以先出示一辆小汽车、两艘轮船、三个苹果、四个梨、五辆小汽车、六个梨、七个苹果、八根香蕉、九根香蕉、十个樱桃的图片，让学生用英语一一对应地去数出其个数。然后，再用数模雪花片来代替相应的物体及其数量，让学生数出数模雪花片的个数，帮助学生的数学思维活动从实物发展到数模。

但是，数形结合思想在这里的运用还只停留于最浅表层次的运用。最后，教师应将学生从数模再抽象过渡到数学符号，即通过呈现单词one， two， three， four， five， six， seven， eight， nine， ten来实现。这其中的红色小汽车、船、苹果、梨、香蕉、樱桃都是很直观的实物或图形，接着过渡到不同数量的数模雪花片，最后将数模雪花片以抽象的数字符号加以呈现，从而完成从具体物体的感知到形象认知、再到符号运用这样一个循序渐进的认知过程（如图所示）。

我们以沪教版“双语教育实验教材”Maths（数学）一年级第二学期“Comparing numbers and addition”的教学为例，在教授“Add 42 and 6”时，“形”是以一个个小正方形来呈现的。在第一组图形中，每10个小正方形为一列，有四列这样的小正方形，就是4个10，第五列的两个小正方形用来表示2;第二组图形有6个小正方形，代表6。

这样就能够让学生比较直观地看出，第一个加数是42，第二个加数是6。那么，学生就不仅能很清楚地理解每一组图所表示的数量，进而能够列出算式“42 + 6 = 48”，而且还方便学生用前面学过的Count forward的方法来验算其计算结果是否正确。

二、“数形结合思想”在图形与几何教学中的运用

在“图形与几何”的教学中，运用“数形结合思想”帮助学生形成对图形与几何的关系，探究小学数学的基础知识以及理解一些几何的数学运算公式究竟是怎么产生的有着重大的意义。

这里，以沪教版“双语教育实验教材”Maths（数学）三年级第二学期Area的教学为例，在学习长方形面积计算方法时，双语数学教师要引导学生通过动手摆放小正方形进而发现其中的面积运算规律。

例题：The length of a rectangle is 6 cm， and the width of it is 4 cm. What is the area of this rectangle？

在这道例题学习之前，学生已经知道了正方形面积的计算方法。那么，教师自然可以将一个边长为6 cm、宽为4 cm的长方形加以分割，形成边长为1 cm的多个正方形，然后让学生数一数有多少个正方形。学生就能够知道其总面积是多少平方厘米，但是，这么简单地去处理，是不足以发展学生的数学思维能力的。

如果运用“数形结合思想”，那么教学效果则会大大提高。反之，如果让学生动手操作，通过摆放若干个小正方形，那么学生将能够获得亲身体验，就会自然地将正方形面积计算方法迁移到长方形面积计算公式的探究活动之中（如下图所示）。

通过摆放边长为1 cm的小正方形和观察一个大的长方形中有许多个小正方形，每一行可以摆放6个小正方形，摆了4行，总共有24个小正方形被摆放到大长方形之中。那么，学生就能够知道这个长方形的面积为24 cm2。

这时，教师可以引导学生进一步观察：小正方形的边长是1 cm，那么长方形的长是多少厘米，宽是多少厘米，这个长方形的长为6 cm、宽为4 cm与面积为24 cm2之间的数量关系是什么，从而最终发现长乘以宽，得到的就是长方形的面积。学生只有做到了把直观的平面图形变成简练的计算公式，才算是做到了“形”中有“数”。

在沪教版“双语教育实验教材”Maths（数学）三年级第一学期Fractions这一单元中，例题通过分享一个蛋糕来进行分数的初步认识，即2 children share a cake equally. How much does each child get？ 教师不妨与学生展开下列交流活动。

师：Now look at this picture. It is a cake. Now 2 children share a cake equally. How much does each child get？

生：One half.

师：Yes， one half. Each child gets one half of h cake.（板书和one half）Well， look at the cake again. How many halves are there in this cake？

生：There are 2 halves.

师：Yes， you' re right. So what number do 2 halves make？

生：2 halves make 1.

师：Wonderful！ And how many halves can 1 be divided into equally？

生：1 can be divided into 2 halves equally.

这样，即便在这部分内容中并没有分数的加法或除法运算教学的要求，学生也能够在教师的引導下初步感知分数的加法和除法运算的方法，从而为以后进一步学习分数的知识做好了铺垫。这种从图形的直观特征出发，来发现图形中的数量之间存在的联系，以达到化难为易、化繁为简、化隐为显的目的，就能够更便捷地解决各类问题。

三、“数形结合思想”在问题解决策略教学中的运用

随着双语教育年级的升高，在双语数学教学中，问题解决中的各种数量之间的关系越来越复杂。借助数形结合，可以逐步培养学生根据数学问题的条件，画出直观的图形，寻找解题思路，把问题化难为易。在这里，数形结合实际上充当了学生面对数学实际问题与解决问题之间的“桥”，而分析和转化的这个搭建“桥”的过程便是提升学生逻辑思维能力的过程。

在沪教版“双语教育实验教材”Maths（数学）三年级第二学期Problem solving strategies这一单元中有这么一道题：

At a “Keep Fit Club”， 35 people swim， 24 people play badminton， and 27 people go hiking. Of these people， 12 swim and play badminton，19 play badminton and go hiking， and 13 swim and go hiking. 9 people do all the three sports. How many people are there in the club altogether？

面对这种复杂、烦琐的难题，学生利用“数形结合”的方式，辅之以简单的逻辑思维活动，则能使这一难题迎刃而解（如下图所示）。

通过阅读题干，首先画出有9人共同喜欢swim， badminton， hiking;12人喜欢swim and play badminton，但在这12人中，9人同时喜欢三种运动，那么12-9=3。通过数形结合的思想的运用，学生就能够清楚地发现在这12个喜欢swim and play badminton的人当中，仅有3人是喜欢swim， badminton的。从而使学生理解求俱乐部的总人数并不是用游泳的人数、打羽毛球的人数和远足人数简单相加就能解决的。

以此类推，通过层层剥笋，学生就可以逐步完成以下各图，进而找出正确答案（如下图所示）。

在小学双语数学教学中，落实、渗透数形结合这一重要思想必不可少。把这一重要的数学思想运用好，能够大大减轻学生因数学语言的英文表述的理解障碍而带来的学习难度，有利于数学课程的教学目标更好地达成。