叶 玲，朱宏平，翁 顺

(华中科技大学 土木工程与力学学院，湖北 武汉 430074)

城市地铁轨道系统逐渐成为现代交通的中坚力量，而车辆荷载是引起地铁轨道振动的主要来源，轨道参数的变化(结构损伤等)必然会加大车辆系统的动力响应，车辆系统动力响应的变化反过来又会影响轨道结构的安全，对车辆参数和轨道参数的实时识别和监控是保障城市交通正常运作的关键。近年来，国内外许多学者对车辆-轨道交互系统参数识别进行了大量的研究，通过结构动力响应识别车辆、轨道参数，并将轨道参数的变化用于轨道结构损伤识别。Jiang等[1]基于遗传算法识别桥梁结构的动力响应车辆参数。Zhan等[2]通过轨道动力响应及其灵敏度分析识别轨道损伤位置和程度。由于实际工程中，难以直接将传感器安装在轨道结构上获得结构动力响应，越来越多的学者展开基于车辆动力响应识别结构损伤的方法研究[3～5]。在使用车辆响应进行损伤识别时，车辆自身的参数对结构损伤识别有很大影响，因此，Jiang等[6]提出了一种基于遗传算法的参数识别方法，识别简化为移动质量块的车辆参数。Deng等[7]提出一种基于遗传算法的车辆参数识别方法，准确地识别出了两种简易车辆模型的参数。随后，Au等[8]提出了一种基于遗传算法的改进多步优化算法，该算法以车辆加速度响应为基础，识别出了整车模型参数。Kraft等[9]基于相合状态法，提出了一种识别非线性多体车辆模型参数的方法。

上述方法仅对车轨交互系统中的车辆参数或者轨道参数进行识别，忽略了系统参数同时变化的情况，这不符合车轨交互影响的实际情况，需要对车辆参数和轨道参数进行同时识别。但是，由于车辆参数和轨道参数差异大，很难对其进行同步识别。因此Lu等[10]用移动力替代车辆荷载，将车辆参数识别转换成对切比雪夫多项式参数的识别，实现了对结构参数和力的同时识别。此类方法将车辆荷载简化为移动力，不考虑车辆轨道之间的交互作用，忽略了车辆参数变化对轨道参数的影响，这样简化会降低轨道结构参数的识别精度。

车轨交互系统包含车辆、轨道等不同类型参数，待识别参数多、差异大。为了实现不同类型车轨系统参数识别，本文提出了一种基于车辆动力响应灵敏度分析的车辆和轨道参数同步识别方法。在每个迭代步中，将识别出的轨道参数带入原系统方程，作为输入条件，识别车辆参数，对识别结果进行目标函数收敛条件判断，如满足条件，迭代完成，得到最终参数识别值，如不满足条件，则进入下一个迭代步，重新进行迭代识别，直到满足目标函数的收敛条件。同时，在迭代识别过程中，对轨道参数和车辆参数分别设置参数收敛条件，因为参数收敛条件基于参数自身的识别结果，互不影响，一旦有参数满足收敛条件，则该参数停止迭代，加快了整个迭代过程，提高了识别效率。最后通过对一个车轨交互系统数值算例进行参数识别，并与传统识别方法相比较，验证了算法的正确性和高效性。

1 车辆-轨道交互系统模型

1.1 车辆系统运动方程

用一个三参数单自由度的车辆模型模拟车辆-轨道交互系统中的车辆，如图1所示。车辆系统振动方程可表示为：

(1)

根据力的平衡定律，轮轨接触力Fvr可表示为：

(2)

式中：g为重力加速度；x(t)为车辆在轨道上的位置，如图1(图中A1为测量点)所示；y(x(t))为轮轨接触点x(t)处钢轨的竖向位移；r(x(t))为轮轨接触点处的轨道位移不平顺参数，具体将在第1.3节介绍。

图1 车辆-轨道耦合系统模型

1.2 轨道系统运动方程

地铁轨道系统主要由钢轨、轨枕、扣件和道床板组成，由于轨枕和道床板完全联结在一起，其振动主要体现在钢轨的振动上，因此本文用一个离散点支撑的Euler-Bernoulli梁模拟轨道结构，如图1所示。将轨道结构划分为N个单元，共N+1个节点，3N个自由度。轨道结构振动方程可表示为：

(3)

(4)

式中：l为第q个单元的单元长度；x(t)为车辆t时刻通过的轨道结构的长度，其范围为0≤x(t)≤l；Hrq为第q个单元的形函数。轨道系统的形函数为一个3N×1向量，可表示为Hr=[0 0 …Hrq… 0]T。

钢轨阻尼采用瑞尼阻尼，表示为钢轨质量矩阵和刚度矩阵的线性组合，即[Cr]=α[Mr]+β·[Kr]，α和β分别为瑞尼阻尼系数，根据结构动力学原理[11]，计算如下：

(5)

式中：η1，η2分别为轨道的一阶和二阶频率；ξ1，ξ2分别为轨道相关的一阶和二阶阻尼比。

1.3 轨道不平顺

本文采用余弦函数表示钢轨焊接接头和钢轨波磨形状[12]，即轨道位移不平顺参数表达为：

(6)

式中：V为车辆行驶速度；μ，ζ分别为轨道位移不平顺的波深和波长，根据轨道线路实地测量获得[13]；L为实际的轨道位移不平顺长度。

1.4 车辆-轨道交互系统振动方程

假设车轮与钢轨之间始终不出现脱轨现象，结合式(1)～(3)，可以得到车辆-轨道交互系统振动方程，表示为：

(7)

式(7)可通过Newmark数值方法计算得到。

2 车辆-轨道交互系统动力响应灵敏度分析

2.1 轨道参数和车辆参数的定义

将轨道参数定义为轨道系统钢轨的单元刚度，对轨道参数的识别即为对钢轨单元刚度的识别。定义为：

(8)

(9)

由于轨道刚度矩阵Kr是由轨道结构单元的刚度EI组成的，将式(9)代入轨道刚度矩阵表达式中，即可得到轨道刚度矩阵关于刚度相对变化量的灵敏度∂Kr/∂γi。

定义待识别车辆参数为B=[mv,kv,cv]，对于第j个待识别车辆参数Bj，定义为：

(10)

(11)

则车辆-轨道交互系统的参数识别，实际上就是对轨道系统钢轨单元刚度变化量和车辆系统各车辆参数相对变化量的同时识别，即对系统参数相对变化量组成的向量λ=[a1,a2,...,ai,ε1,ε2,ε3]T的识别。

2.2 车辆-轨道交互系统动力响应关于系统参数的灵敏度

式(7)两边同时对第i个轨道单元刚度相对变化量γi求一阶偏导，可得车辆-轨道交互系统动力响应关于第i个轨道单元刚度相对变化量γi的灵敏度方程为：

(12)

从式(12)可以看出，等式左边mv，cv，kv，Hr都与γi无关，等式右边r(x(t))也与γi无关，只有Cr和Kr与γi相关，由于钢轨阻尼矩阵为钢轨质量矩阵和刚度矩阵的线性组合，可得：

(13)

式(12)可化简为：

(14)

同理，对于待修正车辆参数的相对变化量ε，车辆-轨道交互系统动力响应关于第j个车辆参数的相对变化量εj的灵敏度方程可以表达为：

(15)

根据公式中各项是否与第j个车辆参数的相对变化量相关，以第一个车辆参数mv为例，等式左边cv，kv，Mr，Cr，Kr都与ε1(第一个车辆参数Mc的相对变化量)无关，等式右边形函数Hr和r(x(t))也与ε1无关，只有mv与ε1有关，即：

(16)

(17)

(18)

将式(16)～(18)带入式(15)，车辆-轨道交互系统关于第一个车辆参数的相对变化量ε1的灵敏度方程可表达为：

(19)

同样可以得到系统动力响应关于车辆其他参数的灵敏度方程。式(19)也可通过Newmark数值方法计算得到。

3 基于车辆动力响应灵敏度分析的系统参数识别

3.1 基于车辆动力响应的参数识别

为了实现对系统参数相对变化量组成的向量λ的识别，本文提出的基于车辆加速度响应灵敏度分析的系统参数识别方法，将通过有限元模型计算得到的车辆加速度响应与测量得到的车辆加速度响应的残差作为目标函数J，表示为：

(20)

根据罚函数法[14]，基于灵敏度方程的参数识别过程可以表示为：

(21)

3.2 车辆参数和轨道参数同时识别方法

由于车辆参数和轨道参数差异大，对车辆动力响应的灵敏度权重不一致，同步迭代容易出现误差，甚至无法完成识别。本文提出了一种基于车辆动力响应灵敏度分析的车辆和轨道参数同步识别方法，识别具体步骤如下：

步骤2：当迭代次数k=1时，利用式(14)计算车辆加速度响应关于待识别轨道参数γ的灵敏度矩阵S。利用式(21)计算出当前迭代步的待识别轨道参数γk。

步骤3：根据步骤2识别出的轨道参数γk，得到新的钢轨单元刚度，形成新的系统运动方程式(7)，重复步骤1得到新的目标函数J。

步骤4：利用式(19)计算车辆加速度响应关于待识别车辆参数ε的灵敏度矩阵S。利用式(21)计算出当前迭代步的待识别车辆参数εk。

综上所述，基于车辆动力响应的车辆参数和轨道参数同步识别方法的具体流程如图2所示。

图2 车辆-轨道交互系统参数识别流程

4 车辆-轨道交互系统参数识别数值算例

如图1所示车辆-轨道交互系统，车辆模型各参数为mv=2500 kg，cv=1000 N/(m/s)和kv=6.0×105N/m。轨道结构用离散点支撑梁模拟，总长为100 m，轨道结构划分为N=100个单元，每个单元长度为l=1 m，则轨道结构共有101个节点，303个单元。轨道结构各参数为：杨氏模量E=33 GPa，截面面积A=600 mm×1000 mm，密度ρ=2.5×103kg/m3，泊松比μ=0.15。车辆从轨道左侧匀速通过轨道，车速设为恒速20 m/s。轨道不平顺波长、波深分别为0.1 ，0.4 mm。轨道不平顺的时程曲线见图3。A1表示测点位置，如图1所示，给出车体测量加速度响应。本文轨道参数和车辆参数收敛条件Tolerance1和Tolerance2分别取为1×10-4和1×10-6，目标函数收敛条件取为1×10-10。

图3 轨道不平顺时程曲线

为了验证基于车辆动力响应灵敏度分析的车辆和轨道参数同步识别方法的正确性，假设轨道结构第3，22，81单元刚度在初始刚度的基础上分别发生了15%，30%，20%的折减，车辆系统三个参数都发生了10%的折减，分三种工况进行比较分析，工况1不考虑噪声影响，工况2加了1%的噪声，工况3加了5%的噪声。表1给出了系统参数识别的三种工况。本文测量噪声用一组正态随机分布数据进行模拟，加了噪声之后的车辆测量加速度响应可表示为：

(22)

表1 轨道系统参数识别的各种工况

图4 轨道参数相对变化量识别结果

表2 单元刚度相对变化量以及相应的误差 %

表3 车辆参数相对变化量以及相对误差 %

表4列出了第一种工况下，通过本文方法和传统方法识别系统参数所用时间，车辆参数与轨道参数完成收敛所需次数的对比结果。从表4可以看出，通过本文方法需11步完成整个迭代过程，但只需要4步就完成了车辆参数的识别，系统参数识别总共用时64.7 s，通过传统方法，需迭代13步完成识别，总共用时129.6 s，是本文算法的2.01倍，这是由于本文方法将不同类型的参数设为独立项，交叉进行迭代识别，因为收敛条件基于参数自身的识别结果，互不影响，故先完成迭代的参数可提前跳出迭代循环，加快了整个迭代过程，提高了识别效率。当系统参数类型更多，差异更大时，交叉迭代识别方法将具有更大优势。

表4 两种算法的CPU时间

5 结 论

针对车轨交互系统参数差异大的难题，本文提出了一种基于车辆动力响应灵敏度分析的车辆和轨道参数同步识别方法。从对车辆-轨道交互系统的数值分析结果，可以得到以下结论：

(1)基于车辆动力响应灵敏度分析的方法可以用于同步识别车辆参数和轨道参数；

(2)提出的同步识别方法在识别轨道参数时考虑车辆参数变化的影响，能高精度识别系统中参数的变化用于损伤识别；

(3)交叉迭代优化算法不受待识别参数类型、个数的影响，无需预设各参数在系统响应灵敏度中的参与权重，与传统识别方法相比，计算效率也有明显提高。