感悟思想方法提升解题能力

2019-08-29方小龙陈少毅

考试周刊 2019年64期

方小龙陈少毅

摘要：初中数学总复习一般分基础复习和专题提升两个阶段，在第二阶段专题复习中，教师不仅要根据中考的趋势精选题型，还要善于利用经典问题，引导学生分析问题的本质，挖掘试题所隐含的数学方法，并适时开展变式训练，从而提高学生分析、求解综合问题的能力。

关键词：初中数学；第二轮复习；问题本质；解题方法；变式训练

初中数学总复习是对数学知识进行回顾梳理，使学生对知识的形成系统化，技能形成熟练化的过程，也是对数学思想与方法进行再提炼，让学生数学素质和科学素养得到提升，进而提高综合解题能力的过程。因此，初中数学总复习一般分基础复习和专题提升两个阶段，但在第二轮专题复习中，教师们更多地关注选什么样的题型训练，而忽略了如何利用典型例题进行讲解，从而降低了专题复习的效果。实际上，在二轮复习中，我们不仅要根据中考的趋势精选题型，还要善于利用经典问题，引导学生分析问题的本质，挖掘试题所隐含的数学方法，并适时开展变式训练，从而提高学生分析、求解综合问题的能力。

一、分析问题本质，把握试题求解的根本

初中数学任何一个复杂的代数问题都可分解成几个基本问题，任何一个复杂的几何图形都是若干个基本图形的组合。掌握这些基本代数问题的特征和解题方法，弄清这些基本图形的基本性质和求解方法，是解决综合问题的基础，也是解题必须具备的基本功之一。

图1

【例1】如图1，抛物线y=ax2+bx+c经过A（-1，0），B（5，0），C（0，5）三点，对称轴与抛物线相交于点P，与直线BC相交于点M，连接PB。

（1）求该抛物线的解析式；

（2）点Q为抛物线第一象限上的点，且△QMB与△PMB的面积相等，求点Q的坐标；

（3）在第一象限、对称轴右侧的抛物线上是否存在一点R，使△RPM与△RMB的面积相等，若存在，求出点R的坐标；若不存在，说明理由。

分析：本题是以抛物线为背景构造三角形面积相等的经典题型，第（2）小题中的两个三角形由于有一条确定的公共边MB，学生容易由等底等高面积相等，想到过点P作BC的平行线，从而确定Q；而第（3）小题，△RPM与△RMB的公共边MR待定，由于受前面所用的方法的影响，多数学生会陷入从几何形质探求面积相等的陷阱，其实我们不妨从平面中求斜三角形的通用方法入手，构建方程求解。

图2

如图2，不难得出：S△RMB=S△RME+S△RBE=12（xB-xM）（yR-yE），利用上述结论，在第（3）小题中，若设点R的横坐标为x，则△RPM的面积为S△RPM=12（xR-xM）（yP-yM）=3（x-2），△RMB的面积为S△RMB=12（xB-xM）（yR-yE）=32（-x2+4x+5+x-5），再由面积相等就不难求得点R的坐标了。

由于中考的压轴题都由若干个问题综合而成，而且都有一定的原创性，学生很难在考试中的短时间内找到类似的问题类比解答，因此在复习课教学中，教师要引导学生分析问题的结构特征，图形的基本构成，进而“离析”出可拓展的基本问题或基本图形，引导学生理解基本问题和基本图形一般性原理，从而掌握解决问题的方法，提高解题能力。

二、讲清解题过程，掌握一类题型的解法

中考压轴题的解决必须依托不同的思维方式，专题复习的过程不能只是简单地推导和计算，而应针对不同类型的题目，理清解题的思路，渗透思想方法，以题带面，引导学生思考解题过程中涉及的知识点和通用方法，这样不仅有利于学生对知识的巩固，还有利于提高学生的综合运用能力及解题能力，培养学生的思维能力。

图3

【例2】如图3，已知点E在线段AB上，AB=6，BE=2。P为线段AB上一个动点（点P不与点A，B重合），在线段AB的同侧分别作等边△APC和等边△PBD，连接AD、BC，交点为Q。

（1）求证：△APD≌△CPB；

（2）当点P为AB中点时，求线段QE的长；

（3）在点P的运动过程中，求线段QE长的最小值。

分析：本题从学生熟悉的等边三角形构图入手，层层递进，从特殊到一般再到特殊，探求定点E与动点Q之间线段长的性质，是一道典型的考查动点轨迹与几何最值的压轴题。第（2）小题以特殊位置求线段QE的长，既是后面求QE最小值在设题上的自然前探，也为第（3）题从角度思考点Q的运动轨迹做了方法上的铺垫。在讲解第（3）小题时，教师应引导学生关注此类问题的共同特征，总结关于动点轨迹问题的解题方法。在（3）问中，线段QE的端点E为定点，Q为动点，要解决这类问题，首先要判断动点Q的运动轨迹。若轨迹为直线，则由点到直线距离垂线段最短求QE的最小值；若轨迹为圆弧，则由定点到圆周上各点的最短距离可求得QE的最小值。

在二轮复习中，教师应避免就题论题，要以题论法，引导学生挖掘题干中的解题信息，根据题中的关键条件找到解题的突破口，进而帮助学生理清解题思路，找出一类题型的共同点，归纳出此类题型的解题策略。在学生思维遇到障碍时，教师要通过展示自己的思考过程，帮助学生梳理思维脉络，建立解题信心；在学生有了解题思路后，教师要在具体解法上加以指导，避免有想法无解法的情况发生，还要让学生在各种解法中比较、选择最优化的方法，从而提高解题能力。此外，还要培养学生良好的解题习惯和答题规范，力求解题完整，以提高得分率。

三、开展变式训练，巩固解题习得的技巧

任何巧妙的方法，不经过一定量的训练与巩固，都无法内化为自己的解题策略。在第二轮复习中，教师要精心设计专题的变式练习，及时对学生进行巩固训练，一方面可以强化刚获得一类问题的基本原理和解题方法，另一方面也可以避免大量的重复练习，消除题海战术。专题复习中例习题变式，可以从问题背景、发问方式、题干条件等角度做出實质性改变，从而形成新的问题。

图4

【例3】如图4，在矩形ABCD中，AB=2，BC=5，P为线段BC上的一个动点，且和B，C不重合，连接PA，过P作PE⊥PA交CD所在直线于E。设BP=x，CE=y。

（1）求y与x的函数关系式；

（2）求线段DE的最大值；

（3）将△PEC沿PE翻折至△PEG位置，若点G恰好落在AD上，求BP长。

本例是一道典型的几何动点问题，它以矩形为背景，利用一线三直角和图形的折叠来设置问题。解决本题的基本方法是由相似建立函数关系，再利用二次函数的对称性求线段的最值，再后通过勾股定理建立方程求得BP的长。

为了让学生强化在例题分析求解中习得的方法，提升解题能力，教师不妨对例题进行适当的变式，让学生在变式训练中及时巩固解题方法，避免“一讲便懂，转眼就忘”的情况发生。

图51

图52

变式：如图51，在等边△ABC中，AB=6，D是AB上一点，BD=m，E为线段BC上的一个动点，且和B，C不重合，作∠DEP=60°，EP交边AC于P。

（1）求证：BD·PC=BE·EC；

（2）若点E在线段BC上运动时，点P总在线段AC上，求m的取值范围；